13.2.2 GARCH模型

13.2.2 GARCH模型

一大类用于波动率预测的模型使用了Engle(1982)提出的自回归条件异方差(ARCH)模型的各种变体。与式(13.3)一致，假设对被预测变量的冲击的波动率是时变的，并具有如下形式：

$${\epsilon }_{t+1}={\sigma }_{t+1|t}{\eta }_{t+1},{\eta }_{t+1}\sim \mathrm{ind}\mathrm{N}(0,1).\text{\hspace{1em}(13.5)}$$

其中 ${\sigma }_{t+1|t}^2$ 是 ${\epsilon }_{t+1}$ 在给定 $t$ 时刻信息 $Z_t$ 条件下的条件方差。Engle(1982)提出的ARCH(q)模型形式为

$${\sigma }_{t+1|t}^2=\omega +{\alpha }_1{\epsilon }_t^2+{\alpha }_2{\epsilon }_{t-1}^2+\cdots +{\alpha }_q{\epsilon }_{t-q+1}^2,\omega >0,{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_q\ge 0.\text{\hspace{1em}(13.6)}$$

由于 ${\alpha }_j$ 值为正，一个大的冲击 ${\epsilon }_t^2$ 将导致未来条件方差 ${\sigma }_{t+1|t}^2,\dots ,{\sigma }_{t+q|t}^2$ 变得更高。因此ARCH模型能够捕捉预测误差波动率的聚集性：大的平方误差之后往往跟随着大的平方误差，小的平方误差之后往往跟随着小的平方误差。然而，模型并未规定正向或负向冲击哪个更可能发生，因此未来误差的符号是不可预测的。

ARCH(q)模型可能需要大量的滞后系数 ${\alpha }_i$ 才能拟合具有高度持续性波动率的序列。Bollerslev(1986)提出的广义ARCH即GARCH设定是一种更为简洁的模型，能够捕捉持续的波动率动态。GARCH(p, q)模型具有 $p$ 个条件方差的自回归滞后和 $q$ 个平方新息的滞后，其形式为

$${\sigma }_{t+1|t}^2=\omega +\sum _{i=1}^p{\beta }_i{\sigma }_{t+1-i|t-i}^2+\sum _{i=1}^q{\alpha }_i{\epsilon }_{t+1-i}^2.\text{\hspace{1em}(13.7)}$$

在实证研究中，最受欢迎的设定是GARCH(1,1)模型：

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_{t+1|t}^2& =\omega +{\beta }_1{\sigma }_{t|t-1}^2+{\alpha }_1{\epsilon }_t^2\\ & =\omega +({\alpha }_1+{\beta }_1){\sigma }_{t|t-1}^2+{\alpha }_1{\sigma }_{t|t-1}^2({\eta }_t^2-1).\end{array}\text{\hspace{1em}(13.8)}$$

由于 $E[{\eta }_t^2]=1$，最后括号中的项均值为零。由式(13.8)可知，${\alpha }_1+{\beta }_1$ 是条件方差过程持续性的度量，而 ${\alpha }_1$ 是冲击的"新息"影响度量，即当前（标准化）冲击对下一期条件方差预测的影响。

许多研究考察了GARCH(1,1)模型的实证表现，发现其很难被超越。Hansen和Lunde(2005)比较了330种ARCH类设定，包括非常复杂的波动率模型。他们发现，对于每日汇率预测，没有显著证据表明这些模型中的任何一个能超越GARCH(1,1)模型。相反，对于IBM日收益率的预测，考虑杠杆效应（见下文讨论）的模型被发现优于GARCH(1,1)模型。鉴于这类模型的重要性，接下来我们将详细介绍如何使用这些模型来生成密度预测。

注意，对式(13.8)第一行进行递归反向代入，可以将条件方差预测表示为滞后平方新息的加权和：

$${\sigma }_{t+1|t}^2=\frac{\omega }{1-{\beta }_1}+{\alpha }_1\sum _{i=0}^{\infty }{\beta }_1^i{\epsilon }_{t-i}^2.$$

因此GARCH(1,1)模型意味着一个具有特殊衰减结构的无穷阶ARCH模型，过去平方新息上的系数呈几何衰减。这与第7章中分析的AR(1)模型所表现出的几何衰减非常相似。

只要 ${\alpha }_1+{\beta }_1<1$，从式(13.8)最后一行显然可以看出波动率过程是收敛的。对两边取无条件期望，稳态——或无条件——方差（如果存在）必须满足

$$E[{\sigma }_{t+1|t}^2]=\omega +({\alpha }_1+{\beta }_1)E[{\sigma }_{t|t-1}^2].$$

因此，假设过程是协方差平稳的，$E[{\sigma }_{t+1|t}^2]=E[{\sigma }_{t|t-1}^2]\equiv {\sigma }^2$，于是

$$E[{\sigma }_{t+1|t}^2]=\frac{\omega }{1-{\alpha }_1-{\beta }_1}={\sigma }^2,$$

这就是无条件方差。利用这一点，我们可以将式(13.8)改写为

$${\sigma }_{t+1|t}^2={\sigma }^2+({\alpha }_1+{\beta }_1)({\sigma }_{t|t-1}^2-{\sigma }^2)+{\alpha }_1{\sigma }_{t|t-1}^2({\eta }_t^2-1).\text{\hspace{1em}(13.9)}$$

这允许我们将未来一步预测的条件方差写成如下形式（对于 $h\ge 1$）：

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_{t+h|t+h-1}^2& ={\sigma }^2+({\alpha }_1+{\beta }_1{)}^h({\sigma }_{t|t-1}^2-{\sigma }^2)\\ & +{\alpha }_1\sum _{j=1}^h({\alpha }_1+{\beta }_1{)}^{j-1}{\sigma }_{t+h-j|t+h-j-1}^2({\eta }_{t+h-j}^2-1).\end{array}\text{\hspace{1em}(13.10)}$$

在 $t$ 时刻信息的条件下取期望，$h$ 期后的一期方差期望 ${\sigma }_{t+h|t}^2$ 为

$${\sigma }_{t+h\mid t}^2=E_t[{\sigma }_{t+h\mid t+h-1}^2]={\sigma }^2+({\alpha }_1+{\beta }_1{)}^{h-1}({\sigma }_{t+1\mid t}^2-{\sigma }^2).\text{\hspace{1em}(13.11)}$$

因此,如果单步条件方差预测超过平均方差预测 ${\sigma }^2$,则多步方差预测也将超过平均预测,且超出量随预测期数增加而递减。这种均值回归倾向显然是平稳过程的定义性质,因此假设 ${\alpha }_1+{\beta }_1<1$ 的重要性从式(13.11)中便显而易见。

式(13.11)给出了给定当前信息下未来条件方差的期望值。未来方差的条件密度则更为复杂。向前移动一步,忽略参数未知这一事实,在给定第 $t$ 期信息的条件下,(13.9)最后一行中唯一的未知变量是 ${\eta }_{t+1}^2$,因此下期单步条件方差预测服从自由度为 1 的卡方分布:

$${\sigma }_{t+2\mid t+1}^2={\sigma }^2+\left({\alpha }_1+{\beta }_1\right)\left({\sigma }_{t+1\mid t}^2-{\sigma }^2\right)+{\alpha }_1{\sigma }_{t+1\mid t}^2({\eta }_{t+1}^2-1).$$

再向前移动一期至 ${\sigma }_{t+3|t+2}^2$,由式(13.10)可得

$$\begin{array}{rlr}& & {\sigma }_{t+3\mid t+2}^2={\sigma }^2+({\alpha }_1+{\beta }_1)\left\{({\sigma }^2+{\alpha }_1+{\beta }_1)({\sigma }_{t+1\mid t}^2-{\sigma }^2)+{\alpha }_1{\sigma }_{t+1\mid t}^2({\eta }_{t+1}^2-1)\right\}\\ & & +{\alpha }_1\left\{{\sigma }^2+({\alpha }_1+{\beta }_1)({\sigma }_{t+1\mid t}^2-{\sigma }^2)+{\alpha }_1{\sigma }_{t+1\mid t}^2({\eta }_{t+1}^2-1)\right\}({\eta }_{t+2}^2-1).\end{array}\text{\hspace{1em}(13.12)}$$

注意其中包含 ${\eta }_{t+1}^2{\eta }_{t+2}^2$ 等涉及未来冲击的交叉乘积项,这些冲击在第 $t$ 期是未知的。这些项的存在意味着条件多期方差不再服从卡方分布。事实上,GARCH 过程可以视为具有时变权重的正态分布的混合。这导致其分布可能比正态分布具有明显更厚的尾部。例如,正如 Bollerslev(1986)所示,相对于高斯分布度量的 GARCH(1,1) 过程的超额峰度系数为

$$\frac{E\left[{\epsilon }_t^4\right]}{E\left[{\epsilon }_t^2\right]}-3=\frac{6{\alpha }_1^2}{(1-{\beta }_1^2-2{\alpha }_1{\beta }_1-3{\alpha }_1^2)}.$$

该表达式恒为正,这表明即使是一个具有条件高斯单步预测的 GARCH 过程,也可能对多期或无条件预测产生厚尾。

例 13.2.2(基于损失函数的 GARCH 参数估计)。 Skouras(2007)提出通过最小化投资者投资组合决策中所用预测的期望损失来拟合 GARCH(1,1) 模型的参数。投资者可以投资于一种风险资产,该资产支付超过无风险利率 $r_f$ 的随机超额收益 $y_{t+1}$。投资者初始财富 $W_0=0$,财富按 $W_{t+1}=1+r_f+w_t{y}_{t+1}$ 演化。遵循 Skouras(2007)的方法,考虑风险资产收益 $y_{t+1}$ 的 GARCH(1,1) 模型:

$$\begin{array}{rl}& {\gamma }_{t+1}={\mu }_{t+1\mid t}+{\sigma }_{t+1\mid t}{\epsilon }_{t+1},{\epsilon }_{t+1}\sim (0,1),\\ & {\mu }_{t+1\mid t}=b_0+b_1{y}_t,\\ & {\sigma }_{t+1\mid t}^2={\omega }_0+{\alpha }_1{\epsilon }_t^2+{\beta }_1{\sigma }_{t\mid t-1}^2.\end{array}$$

假设该方法被一个具有常绝对风险厌恶(CARA)效用的投资者使用:

$$u(W_{t+1})=-\exp (-A{W}_{t+1}),$$

其中 $A$ 是投资者的绝对风险厌恶系数。正如 Skouras 所指出的,在这些假设下,投资者的贝叶斯法则(风险资产的最优持有量)

具有如下形式

$$\frac{1}{A}\frac{\left(b_0+b_1{y}_t\right)y_{t+1}}{{\omega }_0+{\alpha }_1{\epsilon }_t^2+{\beta }_1{\sigma }_{t|t-1}^2},$$

其中 ${\theta }^{\prime }=(b_0,b_1,{\omega }_0,{\alpha }_1,{\beta }_1{)}^{\prime }$ 是未知参数。如果投资者估计能使样本平均损失最小化的参数,则得到 Skouras 所称的极大效用估计量:

$${\hat{\theta }}^{\ast }(Z_T)=\arg \underset{\theta \in \Theta }{\min }\frac{1}{T}\sum _{t=1}^{T-1}L(f(z_t,y_{t+1},\theta )).$$

对于 GARCH(1,1) 模型,该估计量具有如下形式

$$\begin{array}{rl}& {\hat{\theta }}^{\ast }(z_T)=\arg {\max }_{\theta \in \Theta }\frac{1}{T-1}\sum _{t=1}^{T-1}-\exp \left(\frac{-(b_0+b_1{y}_t)y_{t+1}}{{\omega }_0+{\alpha }_1{\epsilon }_t^2+{\beta }_1{\sigma }_{t|t-1}^2}\right)\\ & =\arg \underset{\theta \in \Theta }{\max }\frac{1}{T-1}\sum _{t=1}^{T-1}-\exp \left(\frac{-(b_0+b_1{y}_t)y_{t+1}}{{\omega }_0\sum _{j=0}^{t-1}{\beta }_1^j+{\beta }_1{\sigma }_{1|0}^2+{\alpha }_1\sum _{j=0}^{t-1}{\beta }_1^j(y_{t-j}-b_0-b_1{y}_{t-j-1}{)}^2}\right).\end{array}$$

该估计量存在的一个问题是，它仅能识别条件均值与条件方差的比值。在基于GARCH(1,1)模型的实证结果中，Skouras发现，由经验最大效用估计所隐含的波动率动态，其持续性往往弱于其QMLE对应估计。在样本外投资规则中应用时，最大效用估计通常能带来比QMLE方法更高的平均效用，尽管在Skouras所分析样本的最后10年期间，这一结论并不成立。