13.2.1 密度预测的位置-尺度模型

13.2.1 密度预测的位置–尺度模型

生成密度预测的最流行方法假设被预测变量由如下形式的条件位置–尺度过程生成

见例 13.1.1

$$y_{t+1}={\mu }_{t+1|t}+{\sigma }_{t+1|t}{\eta }_{t+1},{\eta }_{t+1}\sim (0,1),\text{\hspace{1em}(13.3)}$$

其中 $E[{\eta }_{t+1}|Z_t]=0$ 且 $E[{\eta }_{t+1}^2|Z_t]=1$。因此 ${\mu }_{t+1|t}$ 是 $y_{t+1}$ 在给定条件信息 $Z_t$ 下的条件均值，而 ${\sigma }_{t+1|t}$ 同样是给定 $Z_t$ 下 $y_{t+1}$ 的条件标准差或波动率。条件均值和波动率都可以随时间变化，并依赖于一个有限维参数向量 $\theta$，我们在符号中将其省略。$\eta$ 的分布函数 $P_{\eta }$ 通常被假定为常数（时不变），尽管该方法可以很容易地扩展以允许时变的条件偏度、峰度或尾部风险。

假设 ${\eta }_{t+1}|Z_t$ 具有时不变的分布函数 $P_{\eta }$，我们可以如下推导给定 $Z_t$ 下 $y_{t+1}$ 的条件分布函数：

$$\begin{array}{l}P(y_{t+1}\le y|Z_t)=P\left(\frac{y_{t+1}-{\mu }_{t+h|t}}{{\sigma }_{t+1|t}}\le \frac{y-{\mu }_{t+1|t}}{{\sigma }_{t+1|t}}\right)\\ \equiv P_{\eta }\left(\frac{y-{\mu }_{t+1|t}}{{\sigma }_{t+1|t}}\right).\end{array}$$

如果 $P_{\eta }$ 的参数模型可用，则可以很容易地计算该分布函数。例如，如果 $\eta$ 的密度是标准正态分布，则对于 ${\eta }_{t+1}=(y_{t+1}-{\mu }_{t+1|t})/{\sigma }_{t+1|t}$，有

$$P_{\eta }({\eta }_{t+1})=(\sqrt{2\pi }{)}^{-1}{\int }_{-\infty }^{{\eta }_{t+1}}\exp (-0.5x^2)dx.$$

另一方面，半参数方法不对 $\eta$ 做分布假设，而是假设其可以通过 ${\hat{\eta }}_{t+1|t}=(y_{t+1}-{\hat{\mu }}_{t+1|t})/{\hat{\sigma }}_{t+1|t}$ 的经验分布函数来近似。

对条件均值 ${\mu }_{t+1|t}$ 估计的构造是标准的，前面已经讨论过。(13.3) 式中的新内容在于出现了时变的条件波动率 ${\sigma }_{t+1|t}$。波动率过程的参数通常使用极大似然法或 QMLE 方法进行估计。

例 13.2.1（位置–尺度模型参数估计）。假设均值和方差函数以及标准化新息 ${\eta }_{t+1}$ 的密度除了一个有限维的未知系数向量 $\theta$ 外都已经设定，并考虑一个波动率模型，其标准化新息 ${\eta }_{t+1}$ 被假定为独立的 $N(0,1)$。对于 $T$ 个观测值 $\{y_1,...,y_T\}$ 的样本，对数似然函数为

$$\mathrm{LL}(\theta |y_1,y_2,\dots ,y_T)=-\frac{1}{2}\sum _{t=1}^{T-1}\left(\ln (2\pi {\sigma }_{t+1|t}^2)+\frac{(y_{t+1}-{\mu }_{t+1|t}(\theta ){)}^2}{{\sigma }_{t+1|t}^2(\theta )}\right).\text{\hspace{1em}(13.4)}$$

这产生了一组非线性的一阶条件。因此，对数似然函数的最大化需要使用数值方法。请注意，即使我们只对估计条件均值的参数感兴趣，在存在波动率动态的情况下，OLS 方法也不是有效的。

下面我们描述一些用于条件波动率动态的简单且流行的模型。在这些模型就绪之后，我们再考虑使用各种"标准化新息" ${\dot{\eta }}_{t+1}$ 的密度预测模型来生成分布预测的方法。