13.1 损失函数的作用

13.1 损失函数的作用

式(13.2)中的条件密度是一个总体对象，其构建与损失函数无关。看起来，提供预测密度优于报告点预测，因为它(a)可以与损失函数结合以产生任何点预测；并且(b)独立于损失函数。在预测密度的经典估计中，这两点在实际中都不能完全成立。首先，给定预测密度，可以生成点预测。然而，除非预测分布是参数化的，否则在呈现和传达预测密度以促进此类计算方面存在实际问题。此外，在经典设定中，估计的预测分布取决于损失函数。预测密度的所有参数都需要估计，而这些估计需要某种损失函数，因此损失函数又被引入其中。这里存在的一个问题是，密度估计中常用的损失函数与点预测中使用的损失函数并不一致，这可能导致较差的点预测。

即使最终决策基于点预测，如果预测使用者的损失函数未知，条件密度仍然值得报告。或者，预测可能面向多个使用者，其损失已知且可能因最终使用者而异。在这些情况下，提供条件密度预测可被视为损失函数必然介入之前的一步。然而，这种两步程序具有明显的局限性。例如，信息集中相关的变量可能因不同的损失函数而不同。

例13.1.1(不同损失函数下一阶和二阶矩动态的最优预测)。假设密度预测完全由给定当前信息的条件均值和波动率刻画，记为 ${\mu }_{t+1|t}$ 和 ${\sigma }_{t+1|t}$，使得

$$y_{t+1}={\mu }_{t+1|t}+{\sigma }_{t+1|t}{\eta }_{t+1},{\eta }_{t+1}\sim (0,1).$$

在MSE损失下，最优预测为条件均值

$$f_{t+1|t}={\mu }_{t+1|t}.$$

相反地，在如下形式的非对称线-线(lin-lin)损失函数下

$$L(e_{t+1})=(1-\alpha )|e_{t+1}|1(e_{t+1}>0)+\alpha |e_{t+1}|1(e_{t+1}\le 0),0<\alpha <1,$$

最优预测的形式为

$$f_{t+1|t}={\mu }_{t+1|t}+{\sigma }_{t+1|t}{P}_{\eta }^{-1}\left(\frac{1-\alpha }{\alpha }\right),$$

其中 $P_{\eta }^{-1}$ 是创新项 $\eta$ 的分位数函数。假设 $\alpha \ne 0.5$，即使 $\eta$ 具有对称分布，线-线损失下的预测通常也与 ${\mu }_{t+1|t}$ 不同。因此，使用平方误差损失的预测者只会关注有助于预测条件均值的信息，而使用非对称线-线损失的预测者则会利用有助于预测条件波动率 ${\sigma }_{t+1|t}$ 的变量信息。

此外，条件分布难以很好地估计，因此从估计的角度来看，基于条件密度估计的点预测可能是高度次优的。当我们抽象掉损失函数时，什么构成一个"好的"密度预测也不清楚。条件密度的任何估计都会有误差，而对某些应用无害的误差在另一些应用中可能非常重要。即使条件密度避免了参考损失函数，也难以想象密度的最优估计会独立于损失函数。损失函数（或决策问题）通常将成为评估密度估计量的度量标准之核心。

从为使用平方误差损失的使用者生成点预测的角度来看，忽略残差中的异方差性似乎损失不大。然而，这并不完全正确，因为通过考虑时变异方差可以获得条件均值参数更有效的估计。此外，在需要对涉及条件均值非线性动态的模型进行多步向前迭代预测的情况下，异方差性将直接影响点预测；参见第8章的讨论。在本章中，我们大多忽略此类问题。

13.2 波动率模型

通常，密度建模分为两个步骤：首先构建条件均值和条件波动率的模型。然后，在第二步中，对通过减去条件均值（或预测值）并除以条件波动率所得残差的密度进行建模。条件均值的不同建模方法已在第6–11章中描述。本节描述了波动率动态建模的各种方法，关于标准化残差密度建模的方法将在后续章节中介绍。