12.5 结论

预测二元结果本身就很有意思，因为结果空间的高度限制性使得损失函数可以得到有趣的简化。

由于条件均值就是某一特定结果发生的概率，而且在二元情形下，某一结果的概率完全决定了结果的分布，因此估计条件均值等同于预测密度的估计。这与通常的情况形成对比——通常情况下，关注的重点是点预测，因而是在均方误差损失下估计条件均值。

在二元损失下，条件均值的估计是一个概率，而结果（通常）为 0 或 1，因此条件均值并非点预测。

与二元预测问题相关的损失函数非常简单，因为只有四种结果，其中两种是正确的预测，两种是不正确的预测。因此，通常来说，写出一个损失函数就变成了如何在这两种可能的错误之间进行权衡的问题。损失函数的简单性意味着，将分布（或条件均值）预测转化为点预测，简化为判断某一结果的概率是否高于一个仅由损失函数决定的临界值。

由于损失函数的简单性，我们可以在点预测的损失函数平均值与分布预测的损失函数之间构建一一对应关系。这种紧密的对应关系有助于我们深入理解评分规则（分布预测的损失函数）是如何运作的。

波动率与密度预测

前面各章主要聚焦于生成点预测的方法。点预测的动机来自如下形式问题的解：

$$\underset{f(z)}{\min }\int L(f(z),y)p_Y(y|z)dy,\text{\hspace{1em}(13.1)}$$

因此点预测既依赖于损失函数 $L(f(z),y)$，也依赖于在已有数据条件下结果的密度 $p_Y(y|z)$。点预测是预测密度 $p_Y(y|z)$ 的一种特征，在某些情形下——最显著的是在平方误差损失下，仅需要一个位置度量作为预测——这种类型的概括统计量是足够的。

本章将预测练习的对象设定为提供密度预测而非点预测。文献中已提出若干理由，解释为何预测者可能提供预测密度 $p_Y(y|z)$ 而非点预测。首要原因是，预测将被具有不同损失函数的各类使用者所采用。作为式（13.1）解的点预测是特定于损失函数的，因此提供点预测甚至预测密度的少量概括特征，对于预测的许多预期用途而言是不够的。

其次，与点估计一样，点预测无法传达预测精度的任何信息。考虑向政策制定者报告的通货膨胀预测。若当前通胀年率为 3%，而预测的通胀率为 4%，则政策制定者可能会倾向于提高利率以遏制通胀。然而，如果预测的密度显示 2% 到 6% 之间的任何结果都有可能，那么点预测中的信息是相当不精确的，政策制定者可能不太会采取果断行动。美联储前主席艾伦·格林斯潘（Alan Greenspan, 2004）认识到了政策制定者对完整分布预测的内在需求："中央银行不仅需要考虑经济最可能的未来路径，还需要考虑围绕该路径的可能结果的分布。"

同样地，某投资组合经理对某持有期内股票收益的点预测为 5%，他将希望了解围绕这一预测以及未来可能结果的不确定程度。前者将取决于预测模型的估计误差，而均值预测的标准误是 2% 还是 10% 至关重要——在后一种情形下，估计不确定性实质上淹没了点预测中的"信号"。这一点对风险厌恶型投资者尤为重要。如果感知到未来的不确定性很高，风险厌恶型投资者的投资组合选择通常会更加谨慎，因为这会增加遭受重大损失的风险。

第三个对密度预测感兴趣的理由出现在我们关注非线性模型的多步预测时。正如第 8 章所解释的，只要我们在非线性预测模型上进行迭代，完整的密度就是至关重要的，因为非线性效应通常不仅依赖于条件均值，还依赖于未来值出现在可能结果集中的何处。

密度预测——对不同结果可能性的预测——提供了关于预测不确定性的信息，因此可以用于应对这些问题。或者，我们可以提供对分布离散程度的一个概括度量，而非整个分布。这就引出了区间预测，它比点预测提供了更多信息，但除了一些特殊情形（如高斯分布或其他参数简洁的分布）外，其信息量不如密度预测。区间预测与置信区间类似，能够让人们对围绕结果的不确定性有一个概念，而无需提供密度预测中包含的完整信息。

基本的密度预测问题涉及单一结果变量 $y_{t+1}$ 和条件变量 $z_t$。密度预测刻画了在给定 $Z_t$ 的条件下 $y_{t+1}$ 的条件分布。

$$\begin{array}{r}\begin{array}{r}{p}_Y(y_{t+1}|Z_t)=P(y_{t+1}|Z_t).\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(13.2)}$$

如上所述，条件分布或预测密度利用了信息集中所有相关的变量。在实践中，通常只使用条件变量的一个子集。在最简单的情况下，仅考虑自回归动态，这将由该变量自身的过去历史构成。

构建密度预测的一种非常流行的方法是：首先对序列均值和波动率中的任何条件动态进行建模，然后应用灵活的参数或非参数方法来对"标准化"残差进行建模，即由条件波动率缩放后的去均值序列。这种条件位置–尺度方法催生了一个庞大的波动率模型族，这些模型在金融预测中尤其成功，在近期的宏观经济预测研究中也得到了应用。

本章讨论了学术研究中使用的一些最流行的波动率模型族和密度设定，并讨论了如何利用它们构建密度预测。我们侧重于对波动率和密度进行参数化建模，但也讨论了涉及半参数和非参数方法及其在构建预测中应用的替代方案。我们首先介绍一系列常用的参数波动率模型。正如参数估计与非参数估计的优缺点的典型争论一样，密度估计中的权衡在于：当参数形式接近真实但未知的密度时，参数方法能获得更好的估计；而非参数方法则具有灵活性（且设定错误的风险较低）。

13.1节讨论了损失函数在构建密度预测中的作用。13.2节回顾了一系列用于波动率预测的参数模型。13.3节简要介绍了基于已实现方差测度的预测方法。密度模型的参数、半参数和非参数估计将在13.4节中介绍。13.5节转向生成区间和分位数预测的方法。多元密度模型将在13.6节中讨论，连接函数（copula）模型将在13.7节中介绍。13.8节对本章进行总结。