12.3.3 最大效用估计

12.3.3 最大效用估计

最大效用估计利用 M 估计量来最小化风险。利用风险函数的齐次性，最小化风险等价于选择一个函数 $g\in G$，

$$\underset{g\in G}{\max }{E}_{\tilde{Y},Z}\{b(Z)[\tilde{Y}+1-2c(Z)]\mathrm{sign}[g(Z)]\},\text{\hspace{1em}(12.20)}$$

其中 $G$ 是从 ${\mathbb{R}}^k$ 到 $\mathbb{R}$ 的可测函数集，$b(z)=u_{1,1}(z)-u_{0,1}(z)+u_{0,0}(z)-u_{1,0}(z)$，且当 $a>0$ 时 $\mathrm{sign}(a)=1$，当 $a\le 0$ 时 $\mathrm{sign}(a)=-1$。在 $G$ 中选定最优函数 $g(Z)$ 后，预测值为 $\mathrm{sign}(g(Z))$。在实际应用中，我们选取一组参数化的函数形式 $g(Z)=g(Z,\beta )$，并关于 $\beta$ 进行最大化。

式 (12.20) 中目标函数的样本类比形式为

$$Q_T(\beta )\equiv \frac{1}{T}\sum _{t=0}^{T-1}b(z_t)[{\tilde{y}}_{t+1}+1-2c(z_t)]\mathrm{sign}[g(z_t,\beta )].\text{\hspace{1em}(12.21)}$$

该方法由 Manski (1975, 1985) 以及 Manski 和 Thompson (1989) 针对 $c(z)=0.5$、$b(z)$ 为常数以及 $g(z,\beta )=g(z^{\prime }\beta )$ 的情形提出。在这些条件下，最大化式 (12.21) 的估计量即为最大得分估计量。Elliott 和 Lieli (2013) 将该分析推广至一般情形。

式 (12.21) 中 $\beta$ 的估计依赖于效用函数，因为 $b(z_t)$ 和 $c(z_t)$ 的不同取值会影响参数 $\beta$ 的估计。这意味着每次匹配的取值会通过权重 $b(z_t)[{\tilde{y}}_{t+1}+1-2c(z_t)]$ 随效用函数而变化。$b(z_t)$ 和 $c(z_t)$ 在估计中扮演不同角色：$c(z_t)$ 决定真正例与真负例之间的相对价值，而 $b(z_t)$ 对目标函数进行重新加权，对那些正确预测能带来最大收益的 $z_t$ 值赋予较高的权重。

无论 $g(Z,\beta )$ 如何设定，式 (12.21) 中符号函数的存在使得目标函数在符号发生变化的点处不可微。这给估计和推断都带来了困难。例如，梯度方法对估计而言并非有效手段。Elliott 和 Lieli (2013) 建议在一般情形下采用模拟退火方法；亦可参见 Corana 等 (1987) 以及 Goffe、Ferrier 和 Rogers (1994)。

保证 $Q_T(\beta )$ 收敛于 $E[b(z_t)[{\tilde{y}}_{t+1}+1-2c(z_t)]\mathrm{sign}[g(z_t,\beta )]]$ 的原始条件由 Elliott 和 Lieli (2013) 给出。保证估计量一致性的假设比通常考虑的假设略强，例如要求 $\{{\tilde{Y}}_t,Z_t\}$ 具有严格平稳性和遍历性。

12.3.4 估计方法的比较

在预测模型被正确设定的前提下，不使用损失函数进行估计即可得到一致的参数估计，且其效率性质在实践中通常难以进一步改进。此处的正确设定不仅意味着包含正确的预测变量，还意味着条件概率 $Y=1$ 具有正确的函数形式。相反，当模型未被正确设定时，使用损失函数通常会改善预测表现。

在二元预测的背景下，由于实践中常常任意选用 MSE 损失函数进行参数估计，采用正确的损失函数往往能带来显著改进。与线性回归情形不同，使用 MSE 损失永远不会产生最大似然或伪最大似然结果。因此，除非平方误差损失确实反映了预测使用者的偏好，否则在估计中使用正确的损失函数很可能会改善结果。

这些问题在二元情形下可以给出直观的解释。回到图 12.1，我们并不需要在所有位置都对 $p(z)$ 进行非常精确的估计来生成点预测，只需在该函数与 $c(z)$（在图中对所有 $z$ 均等于 0.5）相交的点附近精确即可。在该区域之外，我们所需要的仅是 $p(z)-c(z)$ 具有正确的符号——而不必特别接近其真实值。最大似然估计试图在模型灵活度允许的范围内，在 $z$ 的所有取值上都尽可能精确地拟合 $p(z)$，而不仅仅是在 $z$ 接近临界值时。使用平方损失进行估计时也会出现类似问题。只有在估计中使用损失函数，才能使估计量的注意力集中于临界值处。

Elliott 和 Lieli (2013) 通过解析方法和蒙特卡洛分析探讨了这些问题。他们表明，在模型被错误设定的情况下，基于损失函数与非基于损失函数的估计量之间的差异可能非常大，即使这种错误设定小到难以用常规检验检测出来。基于损失函数和非基于损失函数的估计方法也已在实际数据中进行了对比：Leung、Daouk 和 Chen (2000) 研究了股票市场收益，Srinivasan 和 Kim (1987) 研究了信贷发放，Lieli 和 Springborn (2013) 研究了入侵植物的管理。