12.3 构建二元结果的点预测

12.3 二元结果点预测的构建

涉及点预测的估计问题通常要求预测具有与结果相同的支撑集。对于二元变量 $\tilde{Y}$，这意味着预测 $f(Z)$ 预测 −1 或 1，而对于 $Y$ 两个值为 {0, 1}。这使得建立预测问题非常简单。损失函数只需涵盖四种可能情况——两种预测正确和两种预测错误。正如我们在 12.1 节中看到的，这允许一个通用设定，其中损失函数的全体可以很容易地刻画。只有这种形式的损失函数才具有第 2 章中讨论的性质。例如，当 $u_{1,1}(z)=u_{0,0}(z)=0$ 且 $u_{1,0}(z)=u_{0,1}(z)>0$ 时，MSE 和 MAE 损失是适用的。

具有二元结果的效用函数使估计变得复杂，因为它们在预测中是不连续的。预测问题简化为找到一个函数，告诉我们对于哪些 $Z$ 值有 $p(Z)>c(Z)$。这再次揭示了密度预测与点预测之间的直接关系，因为 $p(Z)$ 的估计就是一种密度预测。这种关系激发了最常见的方法，我们将在下面描述。

12.3.1 通过 $\hat{p}(Z)$ 进行预测

密度预测 $p(Z)$ 的估计与方程 (12.2) 的形式表明，可以通过以下指标变量选择预测模型来构建 $Y=1$ 的预测：

$$f(z)=1\left(\hat{p}(z)>c(z)\right).\text{\hspace{1em}(12.19)}$$

这是一种间接方法，因为 $\hat{p}(z)$ 是基于 MSE 或对数得分等损失函数估计的，而不是基于 (12.1) 中的损失函数。因此，无法保证所估计的系数是最优选择的。

文献中有很多这种方法的例子。Dimitras、Zanakis 和 Zopounidis（1996）综述了企业破产预测模型，发现在所调查的 66 项研究中有 17 项采用了这种方法。Boyes、Hoffman 和 Low（1989）使用 logit 模型预测信用违约，而 Leung、Daouk 和 Chen（2000）同时使用 probit 和 logit 模型预测股市方向。Martin（1977）和 Ohlson（1980）使用这种方法预测企业破产。在这些研究中，超过该概率阈值即预测为 1 的选择往往是任意的。Leung、Daouk 和 Chen（2000）以及 Qi 和 Yang（2003）都选择 0.5 作为他们的阈值，而 Boyes、Hoffman 和 Low（1989）则建议采用基于损失的阈值。

12.3.2 判别分析

判别分析方法在统计学和经济学以外的应用领域中很流行，可以追溯到 Fisher（1936）的工作。这些方法将协变量 $Z$ 的联合分布分成两个不同的组，一组对应 $Y=1$，另一组对应 $Y\ne 1$，源于在这两个协变量总体之间进行假设检验的考虑。通过对总体联合密度进行参数化建模，我们可以计算任何后续观测到的协变量集合是由与 $Y=1$ 组相关联的密度生成还是由另一组生成的可能性。两组之间的似然比检验产生了如下预测规则：如果在 $Z=z$ 处针对 $Y=1$ 组计算的似然值超过另一组的似然值，则预测 $Y=1$。如果 $Z$ 服从联合正态分布且各组具有相同的协方差矩阵，则预测规则在观测到的 $z$ 变量中是线性的，因此导致基于线性"得分"的决策，而这些得分与基于潜在似然值的决策一一对应。与对两个似然值进行同等加权不同，可以将其中一个加权得更高，从而产生一种改变误报和漏报之间平衡的程序。损失函数可以通过这些权重对决策施加影响。

判别分析经常因对协变量联合正态性的参数假设而受到批评。然而，这实际上等同于选择条件概率的参数模型，通过与 logit 模型的关系可以清楚地看出这一点。Amemiya（1985，第 9.2.8 节）证明，在 $Y$ 给定下 $Z$ 服从正态分布的条件下，判别分析等价于使用一个将 $Z$ 协变量线性以及二次包含在内的 logit 模型。在各组方差-协方差矩阵相同的假设下，二次项将被剔除。当各组方差相同时，基于线性指数的 logit 设定与判别分析方法之间存在一一对应（总体）关系。Dimitras、Zanakis 和 Zopounidis（1996）注意到了使用这两种方法进行预测的相似性，差异源于未知参数权重估计方法的不同。