12.2.2 贝叶斯方法

12.2.2 贝叶斯方法

给定条件似然 $p_Y(y_{t+1}|z_t,\beta )$ 以及参数上的一组先验，贝叶斯方法可用于构建 $\beta$ 的后验分布，进而构建预测分布 $p_Y(y_{t+1}|z_t)$。对 $\beta$ 取均匀先验时，后验均值即为极大似然估计（MLE）；若取正态先验，则使用后验众数作为 $\beta$ 均值的渐近近似。遵循 Albert 和 Chib (1993) 的思路，一种更为典型的方法是采用 Gibbs 抽样直接估计观测结果 $y_{t+1}$ 背后某个潜在变量 $y_{t+1}^{\ast }$ 的分布。在对 $\beta$ 采用正态先验并以抽样得到的值替换未知的 $y_{t+1}^{\ast }$ 后，我们便能以与第 5 章中正态线性回归模型相类似的方式来刻画后验密度的性质，例如其后验众数。$\beta$ 后验均值的表达式将以上述抽样值代替未知结果。Geweke 和 Whiteman (2006) 对此作了简要讨论。

许多关于事件预测的文献采用了贝叶斯方法。Chauvet 和 Potter (2005) 使用贝叶斯方法在期限结构利率信息给定条件下预测经济衰退。设 ${\gamma }_t=\{0,1\}$ 为一个指示变量，用于追踪衰退期 $(y_t=1)$ 与扩张期 $(y_t=0)$，而 ${\mathbf{y}}_t^{\ast }$ 为经济体的潜在、未观测状态。则有

$$\begin{array}{r}{y}_t=0\mathrm{如}\mathrm{果}{y}_t^{\ast }<0,\\ y_t=1\mathrm{如}\mathrm{果}{y}_t^{\ast }\ge 0.\end{array}\text{\hspace{1em}(12.13)}$$

相应地，${\mathbf{y}}_t^{\ast }$ 服从如下过程

$${\mathbf{y}}_{t+1}^{\ast }={\beta }_0+{\beta }_1{\mathbf{S}}_t+{\epsilon }_{t+1},{\epsilon }_{t+1}\sim \mathrm{N}(0,{\sigma }_{\epsilon }^2),\text{\hspace{1em}(12.14)}$$

其中 $S_t$ 为某一变量，例如 10 年期与 3 个月期国债收益率之差。由 (12.13) 和 (12.14) 可知，下一期经济陷入衰退的概率为 $\mathrm{Pr}(y_{t+1}^{\ast }\ge 0|S_t,\beta )=\Phi ({\beta }_0+{\beta }_1{S}_t)$，其中 $\Phi$ 为标准高斯累积分布函数。

Chauvet 和 Potter 还考虑了一种动态 probit 设定，将 (12.13) 替换为

$$y_{t+1}^{\ast }={\beta }_0+{\beta }_1{S}_t+{\beta }_2{y}_t^{\ast }+{\epsilon }_{t+1},\text{\hspace{1em}(12.15)}$$

其中 $|{\beta }_2|<1$。Chauvet 和 Potter (2005) 使用 Gibbs 抽样来评估该模型的似然函数并估计其参数。对 2001 年美国衰退的实证分析表明，收益率曲线中所包含的信息有助于预测经济放缓，且未考虑经济周期各阶段持续性的 probit 模型以较高概率成功预测了此次衰退。

Dueker (2005) 提出一种在 VAR 框架内对定性变量生成动态预测的方法，称为 Qual VAR。该方法基于一种动态 probit 设定，其中包含被解释变量的滞后值。设 $y^{\ast }$ 为某一连续潜在变量，决定二元被解释变量 $y\in \{0,1\}$ 的取值符号，并假设 ${\mathbf{y}}_t^{\ast }$ 由与 (12.13) 极为相似的动态 probit 模型生成，

$${\mathbf{y}}_{t+1}^{\ast }=\rho \mathbf{y}{{}_t}^{\ast }+{\beta }^{\prime }{\mathbf{z}}_t+{\mathbf{\epsilon }}_{t+1},{\mathbf{\epsilon }}_t\sim \mathrm{N}(0,1),\text{\hspace{1em}(12.16)}$$

其中 $z_{t-1}$ 为一组预测变量。Dueker (2005) 将该设定嵌入针对 $Y_t=(X_t^{\prime }{y}_t^{\ast }{)}^{\prime }$ 的 Qual VAR 中：

$$\sum _{i=0}^P{A}_i{Y}_{t-i}=\mu +{\epsilon }_t,{\epsilon }_t\sim \mathrm{N}(0,\Sigma ).$$

Dueker 使用 MCMC 估计方法，通过以下分块抽样来生成 $A=(A_1,\dots ,A_{},\dots ,A_{})$ $A_{\mathbf{p}})$ ，以及 $y^{\ast }$ 的序列：

$$\begin{array}{r}p(A^{i+1}|\{{\mathbf{y}}_t^{\ast (i)}{\}}_{i=1}^T,\{{\mathbf{z}}_t{\}}_{t=1}^T,{\Sigma }^{(i)})\sim \mathrm{Normal},\end{array}$$

$$p({\Sigma }^{(i+1)}|\{y_t^{\ast (i)}{\}}_{i=1}^T,\{z_t{\}}_{t=1}^T,A^{(i+1)})\sim \mathrm{InvertedWishart},\text{\hspace{1em}(12.17)}$$

$$\begin{array}{r}\mathcal{P}(y_t^{\ast (i+1)}|\{y_j^{\ast (i+1)}{\}}_{j<t},\{y_k^{\ast (i)}{\}}_{k>t},\{z_t{\}}_{t=1}^T,A^{(i+1)},{\Sigma }^{(i+1)})\sim \mathrm{TruncatedNormal}.\end{array}$$

在以 NBER 的二元衰退指标作为 $y$ 来预测美国衰退的实证研究中，Dueker 发现 Qual VAR 模型在样本外成功预测了 2001 年的美国衰退。该方法的一个优势在于，它不仅能生成下一期的衰退概率，还能生成未来多期的衰退概率。

12.2.3 非参数方法

对二元变量分布预测进行估计的非参数方法与第 11 章中所讨论的方法类似，只是需将其调整应用于二元预测问题；其关键差异在于，概率预测必须被限制在单位区间内。

举例来说,第11章中的局部线性或局部多项式回归,可以在将单位区间之外的预测值截断为 0 或 1 之后加以应用。另一种方法是,Gozalo 和 Linton(2000)建议用 probit 或 logit 目标函数替代局部线性多项式。他们的方法保留了 logit 和 probit 模型取值介于 0 和 1 之间的性质,但允许模型随预测变量变化。模型参数的估计涉及计算

$$\hat{\beta }=\arg \underset{\beta }{\min }\sum _{t=0}^{T-1}{\left(y_{t+1}-\varphi ({\beta }^{\prime }(z_t-z_T))\right)}^{2}K(z_t-z_T),\text{\hspace{1em}(12.18)}$$

其中 $\varphi$ 是一个被限制在 0–1 区间内的函数。预测模型依赖于 $z_T$,正如第 11 章所讨论的,这在真实函数形式未知的情况下可能特别有用。