10.6 面板数据预测

10.6 面板数据预测

虽然我们此前的分析一直聚焦于时间序列预测，但预测方法用于横截面或面板数据等其他情境并无任何障碍。关键在于预测变量无论在时间维度还是横截面意义上都是预先确定的。例如，我们可以利用家庭特征、过往支付记录等数据，基于信用卡持有者的大规模横截面建立预测模型。这里的隐含时间维度在于，我们能够知道数据中某笔支付事后是否被认定为欺诈。

在预测情境下，面板回归可采取如下形式

$$y_{it+1}=c+X_{it}^{\prime }\delta +u_{it+1},i=1,\dots ,N,t=1,\dots ,T,\text{\hspace{1em}(10.28)}$$

其中 $i$ 指代家庭、股票等个体单位，$t$ 指代时间维度。将数据堆叠为一个 $(NT\times 1)$ 向量

$$\mathbf{y}=(y_{11},\dots ,y_{1T},y_{21},\dots ,y_{2T},\dots ,y_{N1},\dots ,y_{NT}{)}^{\prime },$$

并令 $Z=({\iota }_{NT}X)$，${\beta }^{\prime }=(c^{\prime },{\delta }^{\prime })$，其中 $X$ 为 $(NT\times K)$ 的数据矩阵，则 (10.28) 可更紧凑地写为

$$y=Z\beta +u,$$

其中 $u$ 为按与 $y$ 相同方式堆叠而成的 $(NT\times 1)$ 向量。对于随机效应模型 $u_{it}={\omega }_i+v_{it}$，其中 ${\omega }_i\sim \text{iid}(0,{\sigma }_{\omega }^2)$，$v_{it}\sim \text{iid}(0,{\sigma }_v^2)$，$i=1,\dots ,N$，且 ${\omega }_i$ 与 $v_{it}$ 在 $i$ 和 $t$ 上相互独立，并与 $X_{it}$ 独立。${}^6$ 误差项向量可写为

$$u=(I_N\otimes {\iota }_T)\omega +v,$$

其中 $\omega =({\omega }_1,\dots ,{\omega }_N)$，$v=(v_{11},\dots ,v_{1T},v_{21},\dots ,v_{2T},\dots ,v_{N1},\dots ,v_{NT}{)}^{\prime }$。此外，$u$ 的方差—协方差矩阵简化为

$$\Sigma =E(u{u}^{\prime })={\sigma }_{\omega }^2(I_N\otimes ({\iota }_T{\iota }_T^{\prime }))+{\sigma }_v^2(I_N\otimes I_T).$$

在已知协方差矩阵的假设下，$\beta$ 的最佳线性无偏估计量可通过广义最小二乘法得到，${\hat{\beta }}_{\text{GLS}}=(Z^{\prime }{\Sigma }^{-1}Z{)}^{-1}{Z}^{\prime }{\Sigma }^{-1}y$；参见 Baltagi (2013)。此外，正如 Goldberger (1962) 所示，${\gamma }_{iT+1}$ 的最佳线性无偏预测量为

$$f_{iT+1}=Z_{it}^{\prime }{\hat{\beta }}_{\text{GLS}}+{\gamma }_i^{\prime }{\Sigma }^{-1}{\hat{u}}_{\text{GLS}},\text{\hspace{1em}(10.29)}$$

其中 ${\hat{u}}_{\text{GLS}}=y-Z{\hat{\beta }}_{\text{GLS}}$，而 ${\gamma }_i=E[u_{iT+1}u]$ 反映了当期误差向量预测第 $i$ 个变量在第 $T+1$ 期未来冲击的能力。对于随机效应模型，$u_{iT+1}={\omega }_i+v_{iT+1}$，因此 ${\gamma }_i={\sigma }_{\omega }^2(l_i\otimes {\iota }_T)$，其中 $l_i$ 为 $(N\times 1)$ 向量，除第 $i$ 个位置为 1 外其余元素均为 0。详见 Baltagi (2013) 的进一步论述。

(10.29) 式预测方法存在两个问题。首先，该方法假设 $\tilde{\gamma }$ 已知，这一假设在实际中几乎不可能成立，因而在实施时会引入估计误差。其次，该预测在无偏估计量中是最优的，但正如本书反复指出的，没有理由要求预测必须无偏。即使在均方误差损失下，偏差通常也可以与预测误差方差进行权衡，从而降低期望损失。

Baillie 与 Baltagi (1999) 的研究表明，尽管存在上述缺陷，他们所称的 $y_{i,T+1}$ 的"完整的 GLS 预测量"——即用最大似然估计的代入值替代未知参数——相比于忽略数据中随机误差结构的 OLS 或固定效应预测量，能产生更好的预测表现。当随机误差的贡献较大时，即当 ${\sigma }_{\omega }^2/({\sigma }_{\omega }^2+{\sigma }_v^2)$ 较高时，GLS 估计量的表现尤为突出。