10.4 因子模型中的实际问题

10.4 因子模型的实际问题

在使用公共因子模型进行经济预测时，会出现若干实际问题。本节将讨论因子的识别、参数不稳定性、缺失观测、因子增广向量自回归模型以及偏最小二乘方法。

10.4.1 因子的识别与经济解释

未观测的公共因子从根本上来说是不可识别的。在实际应用中，通常发现对底层 x 变量在分析前进行标准化处理（例如减去每列的均值并除以其标准差）在经验上具有重要意义。然而，如果没有进一步的识别假设，去考察动态因子模型（10.5）、（10.8）中 ${\lambda }_i(L)$ 和 ${\lambda }_y(L)$ 系数，或者静态因子载荷矩阵 $\Lambda$（见（10.12））的符号与大小，意义并不大。为了看清这一点，将静态模型（10.12）中因子部分改写为 $\Lambda F_t^p=\Lambda R{R}^{-1}{F}_t^p$，其中 R 为任意 $r\times r$ 维非奇异"旋转"矩阵。因此，由载荷矩阵 $\Lambda$ 和因子 $F_t^p$ 生成的观测数据，与由旋转后载荷矩阵 $\tilde{\Lambda }=\Lambda R$ 和因子 ${\tilde{F}}_t^p=R^{-1}{F}_t^p$ 生成的观测数据完全相同。如果关注的仅仅是机械地计算一个预测值，那么这当然不构成问题，因为在因子的任何非奇异旋转下，所有预测值都完全相同。

然而，预测的使用者可能会对一种纯粹统计的"黑箱"方法持怀疑态度，因为这种方法无法对因子进行经济解释。为了便于因子的解释，可以将提取的因子投影到事先识别的经济变量上。例如，第一主成分可能与名义利率高度相关，而第二主成分可能与实际产出增长率高度相关。或者，可以先将经济变量划分为若干类别，如利率或期限结构变量、实际增长变量、工资以及价格等，然后从每一类别中分别提取公共因子，再将其用于预测目标变量。这将产生更易于解释的"利率"因子和"产出"因子，尽管无法保证这些因子与基于"全局"因子提取方法（不依赖分组）所获得的因子高度相似。

10.4.2 不稳定性

驱动观测变量过程的稳定性可能是一个重要问题。动态因子的估计反映了嵌入在 ${\Sigma }_{XX}$ 中的协方差结构，同时也取决于驱动 ${\epsilon }_{xt}$ 的动态过程。如果这些过程随时间不稳定，则可能导致预测模型中所用因子估计的不一致性。然而，限定程度的不稳定性是允许的，前提是这种不稳定性在各个序列之间足够特殊，从而能在横截面中相互抵消，并在总体中分散掉。

具体而言，Stock 和 Watson（2002a）允许因子载荷具有如下形式的随机漂移：

$$\begin{array}{l}{x}_{it}={\lambda }_{it}^{\prime }{F}_t+{\epsilon }_{xit},\\ {\lambda }_{it}={\lambda }_{it-1}+g_{iT}{\epsilon }_{\lambda it},\end{array}\text{\hspace{1em}(10.25)}$$

其中 ${\epsilon }_{\lambda it}$ 为 $(r\times 1)$ 维随机变量向量，$g_{iT}$ 为标量。因子载荷的随机游走演化刻画了许多经济关系随时间逐步变化的趋势。在此类时间不稳定性下，可以将（10.25）中的模型改写为：

$$\begin{array}{l}{x}_{it}={\lambda }_{i0}{F}_t+a_{it},\\ a_{it}={\epsilon }_{xit}+({\lambda }_{it}-{\lambda }_{i0})F_t={\epsilon }_{xit}+g_{iT}{\sum }_{s=1}^t{\epsilon }_{\lambda is}^{\prime }{F}_t.\end{array}\text{\hspace{1em}(10.26)}$$

Stock 和 Watson 证明，只要参数值的时间变动"较小"，在横截面意义上足够特殊，且 $g_{iT}$ 对所有 $i$、$j$ 和 $t$ 都独立于 $F_t$、${\epsilon }_{xjt}$ 和 ${\epsilon }_{\lambda jt}$，那么底层因子仍然可以由 X 变量的横截面一致地估计出来，基于估计因子得到的预测也会收敛于基于真实因子的预测。

在后续研究中，Stock 和 Watson（2009）证明，当因子结构出现一次大的结构性断裂时，全样本主成分估计仍然可以张成断裂前与断裂后因子所在的空间，唯一的区别在于，断裂前与断裂后的因子估计使用了全样本主成分的不同线性组合。