10.3 确定公因数的个数

10.3 确定共同因子的个数

在使用共同因子进行预测时，一个关键问题是在模型中应包含多少个因子。在构建预测模型时需要考虑两个独立的问题：第一，需要多少个因子才能通过（10.7）式和（10.12）式中的动态刻画 $x$ 变量的变化；第二，在如（10.13）式的预测模型中应包含多少个因子。

首先考虑第一个问题——应选择多少个因子来用一组较小的因子替代高维的 $X_t$。设因子的个数为 $r$，考虑如下静态因子表示：

$$X_{it}={\lambda }_i^{\prime }{\hat{F}}_t^P+{\epsilon }_{xit},i=1,\dots ,N.\text{\hspace{1em}(10.23)}$$

通过考察样本相关矩阵 ${\hat{\Sigma }}_{XX}=T^{-1}{\sum }_{t=1}^T{X}_t{X}_t^{\prime }$ 的特征值，提供了一种初步的非正式方法来选择因子的个数 $r$。设 ${\mu }_i$ 为协方差矩阵按降序排列的第 $i$ 个特征值，则前 $r$ 个共同因子所解释的 $X$ 总方差的比例为 ${\sum }_{i=1}^r{\mu }_i/N$。因此，特征值超过 1 的因子所贡献的解释力高于平均水平。接近于 0 的特征值表明其所对应的因子所能解释的变异非常小。在任何样本中，排序后的特征值通常会逐渐趋近于 0，且在那些在极限下非零的特征值与那些可能为零的特征值之间，并不存在明显的"分离"。这与通常的模型选择问题完全类似——在样本中，真正非零的系数和真正为零的系数并不会自我显现。在任何样本中，可能并不存在一个明显的阈值或临界点来确定 $r$ 的最优值。与一般的模型选择问题相对应，针对这一问题已经发展出正式的方法。

要一致地估计 $r$，正式的方法需要对 $X_t$ 的方差-协方差矩阵的特征值做出假设。当 $N$ 变得很大时，要使 $r$ 个因子能够继续解释 $X_t$ 中大部分的变异，需要第 $r$ 大的特征值发散到无穷大。这确保了第 $r$ 大的特征值与其余特征值分离开来（关于 $N$ 的渐近性）。因此，一致地选择正确因子个数的方法便成为可能。同样需要指出的是，这与第 6 章中所述的一般一致模型选择程序类似——在那里非零参数和零参数的估计会渐近地分离得很远，从而使 BIC 等一致模型选择程序能够选出正确的模型。

不同估计程序之间的差异反映了关于第 $r$ 大特征值发散速度的假设。其余差异主要集中于特质成分 ${\epsilon }_{xit}$ 的精确相关结构上，特别是是否允许时间和截面相依性的存在。

Bai 和 Ng（2002）在近似因子模型的背景下发展了一致选择因子个数的方法。他们的分析允许 ${\epsilon }_{xit}$ 中存在时间序列和截面的异方差性以及弱相依性。Bai 和 Ng（2002）刻画了一类选择准则能够一致地识别正确因子个数 $r$ 的条件。设 ${\hat{F}}_k^P$ 是通过主成分法得到的 $k$ 个因子构成的矩阵，则对应模型的残差平方和为

$$V(k,{\hat{F}}_k^P)=\frac{1}{NT}\sum _{i=1}^N\sum _{t=1}^T(X_{it}-{\lambda }_i^{k^{\prime }}{\hat{F}}_{kt}^P{)}^2.$$

Bai 和 Ng 提出的三个信息准则具有如下形式：

$$\begin{array}{rl}I{C}_{p1}(k)& =\ln (V(k,{\hat{F}}_k^p))+k\left(\frac{N+T}{NT}\right)\ln \left(\frac{NT}{N+T}\right),\\ I{C}_{p2}(k)& =\ln (V(k,{\hat{F}}_k^p))+k\left(\frac{N+T}{NT}\right)\ln (\min (N,T)),\\ I{C}_{p3}(k)& =\ln (V(k,{\hat{F}}_k^p))+k\frac{\ln (\min (N,T))}{\min (N,T)}.\end{array}\text{\hspace{1em}(10.24)}$$

在每种情况下，第一项是对拟合优度的度量，而第二项是惩罚项，它随着 $\min (N,T)$ 和因子个数 $k$ 的增加而增加。可以尝试不同的 $k=0,\dots ,\bar{k}$ 的值，使（10.24）式达到最小值的 $k$ 即为所选择的因子个数。（10.24）式中的惩罚项同时依赖于 $N$ 和 $T$。仅依赖于 $T$ 或 $N$ 的传统准则通常会选取过多的因子。Bai 和 Ng 建立了这些准则一致的条件，即当 $N$ 和 $T$ 同时趋于无穷大时，所选出的因子个数 $\hat{k}$ 趋近于真实的因子个数 $r$。对于较小的 $N$ 或 $T$，Bai 和 Ng 报告称（10.24）式中提出的准则无法选出正确的因子个数；而对于 $\min (N,T)\ge 40$ 的情形，在一系列蒙特卡洛模拟中发现这些准则表现良好。

在关于第 r 大特征值发散速度的较弱假设下，也可以得到相应的结果。在较弱的假设下，特征值的分离并不那么明显，即使在渐近意义上也是如此；较小的特征值收敛于某一分布，因此第 r 大特征值与其余特征值之间的分离程度不够清晰。该分析旨在为特征值的经验样本分布提供更好的渐近近似，如上所述，该分布通常并不会表现出如此大的分离程度。在这个方向上采用较弱假设的同时，往往需要对 ${\epsilon }_{xit}$ 的相关结构施加更强的假设，尽管蒙特卡洛证据表明，对合理的模型而言，误设误差假设的影响较小。

Onatski（2010）提出了一种基于这些关于特征值发散速度的较弱假设的方法。在较弱假设下，可以确定小于第 r 大特征值的那些特征值的分布，并将该分布的最大值点用作截断值。该方法包括估计该截断值，然后估计因子个数，使因子个数等于高于截断值的特征值数量。在我们的记号下，Onatski（2010）方法估计该截断值的步骤如下：

步骤 1：计算 ${\hat{\Sigma }}_{XX}$ 的 N 个特征值，记为 ${\mu }_i,i=\{1,2,\dots ,N\}$，按降序排列。设 $r_{\max }$ 为所要考虑的最大因子数，并令 $j=r_{\max }+1$。

步骤 2：运行 $\{{\mu }_j,\dots ,{\mu }_{j+4}\}$ 对 $\{(j-1{)}^{2/3},(j{)}^{2/3},\dots ,(j+3{)}^{2/3}\}$ 的回归，并令 $\delta$ 等于该回归系数绝对值的 2 倍。

步骤 3：计算 $\hat{r}(\delta )=\max \{i\le r_{\max }:{\mu }_i-{\mu }_{i+1}\ge \delta \}$。若 ${\mu }_i-{\mu }_{i+1}<\delta$，则令 $\hat{r}(\delta )=0$。

步骤 4：令 $j=\hat{r}(\delta )+1$，并重复步骤（2）和（3），直至收敛。

其中，$r_{\max }$ 设定为所要考虑的最大因子数。

从技术上看，$r_{\max }=r_{\max }^N$ 应被选为关于 N 的一个序列，使得当 $N\to \infty$ 时，$r_{\max }^N/N\to 0$，尽管速度条件对具体应用没有提供特别的指导。这在依赖于像一致性这样弱的概念时是标准的做法，类似于第 6 章中讨论的基于信息准则的一致模型选择。

一如既往地，简约性与模型拟合之间存在权衡。如果在预测方程中纳入过多的因子，很可能会对参数估计的精度产生不利影响。相反，纳入过少的因子意味着可能未使用到相关信息，从而导致效率的损失。