10.2.4 从频域中提取因子

10.2.4 从频域中提取因子

Forni 等人(2000)提出了一种替代的因子提取方法,该方法不需要对因子动态设定有理滞后分布或自回归表示。他们的模型从移动平均表示出发

$$x_{it}=b_{i1}(L)u_{1t}+b_{i2}(L)u_{2t}+\cdot \cdot \cdot +b_{iq}(L)u_{qt}+{\xi }_{it},i=1,\dots ,N,\text{\hspace{1em}(10.20)}$$

其中,每个共同冲击过程 $u_{jt}\left(i=1,\dots ,q\right)$ 均为互不相关的零均值单位方差白噪声,$({\xi }_{1t},\dots ,{\xi }_{Nt})$ 是一个与各 $u_{jt}$ 过程正交的平稳过程,滞后多项式 $b_{ij}(L)$ 的系数平方可加。此外,特质成分 ${\xi }_{it}$ 之间可以存在截面相关。这些假设意味着 $(x_{1t},\dots ,x_{nt}{)}^{\prime }$ 是一个平稳过程。在该表示中,共同成分对第 $i$ 个可观测变量 $x_{it}$ 的贡献通过 $q$ 个因子的线性组合 ${\chi }_{it}=b_{i1}(L)u_{1t}+b_{i2}(L)u_{2t}+\cdot \cdot \cdot +b_{iq}(L)u_{qt}$ 来捕获。

设 ${\Sigma }_n(\theta )$ 为 $x_t$ 的谱密度矩阵,其中 $\theta \in \left[-\pi ,\pi \right]$。将 ${\Sigma }_n(\theta )$ 的第 $j$ 个非负实特征值按降序排列,记为 ${\lambda }_{nj}$,或等价地,记为 ${\Sigma }_n(\theta )$ 的第 $j$ 个动态特征值。类似地,设 ${\lambda }_{nj}^{\chi }$ 为共同成分协方差矩阵 ${\Sigma }_n^{\chi }$ 所对应的动态特征值,设 ${\lambda }_{nj}^{\xi }$ 为特质成分协方差矩阵 ${\Sigma }_n^{\xi }$ 的特征值。Forni 等人(2000)的一个关键假设是,第一个特质动态特征值 ${\psi }_{n1}^{\xi }$ 是一致有界的,即对任意 $\theta \in [0,2\pi ]$ 都有 ${\lambda }_{n1}^{\xi }(\theta )\le \bar{\lambda }$,而反过来,前 $q$ 个共同动态特征值是发散的,即对 $j\le q$ 以及几乎所有 $\theta \in [0,2\pi ]$,有 $\begin{array}{r}{i.e.,\lim }_{n\infty }{\lambda }_{nj}^{\chi }(\theta )=\infty \end{array}$。

共同成分可以通过一系列滤波器 $K_{ni}(L)(x_{1t},\dots ,x_{nt}{)}^{\prime }$ 来恢复,这些滤波器是未知谱密度矩阵 ${\Sigma }_n(\theta )$ 的函数。对它们的估计可以通过对 $x_{nt}$ 截断的双边协方差矩阵序列作离散傅里叶变换来进行:

$${\Sigma }_n^T({\theta }_m)=\sum _{k=-M}^M{\Gamma }_{nk}^T{\omega }_k{e}^{-ik{\theta }_m},$$

其中 $i=\sqrt{-1}$,${\theta }_m=2\pi m/(2M+1)$,$m=0,1,\dots ,2M$,${\Gamma }_{nk}^T$ 是 $(x_{1t},\dots ,x_{nt}{)}^{\prime }$ 与 $(x_{1t-k},\dots ,x_{nt-k}{)}^{\prime }$ 的样本协方差矩阵,权重 ${\omega }_k$ 采用大小为 $M$ 的 Bartlett 窗,即 ${\omega }_k=1-[|k|/(M+1)]$。将 ${\Sigma }_n^T({\theta }_m)$ 的前 $q$ 个特征向量记为 $p_{nj}^T({\theta }_m)$,$j=1,\dots ,q$,$m=0,1,\dots ,2M$,其伴随矩阵(转置复共轭)记为 ${\tilde{P}}_{nj}^T({\theta }_m)$。然后我们可以计算

$$K_{ni}^T({\theta }_m)={\tilde{p}}_{n1,i}^T({\theta }_m)p_{n1}^T({\theta }_m)+\cdot \cdot \cdot +{\tilde{p}}_{nq,i}^T({\theta }_m)p_{nq}^T({\theta }_m).$$

滤波器 ${\underline{K}}_{nj}(L)$ 可由向量 $(K_{ni}^T({\theta }_0),\dots ,K_{ni}^T({\theta }_{2M}){)}^{\prime }$ 的逆傅里叶变换估计如下:

$${\underline{K}}_{ni,k}^T=\frac{1}{2M+1}\sum _{m=0}^{2M}{K}_{ni}^T({\theta }_m)e^{ik{\theta }_m}.$$

最后,共同成分可由关系式 ${\varkappa }_{it,n}={\underline{K}}_{ni}^T(\dot{L})(x_{1t},\dots ,x_{nt}{)}^{\prime }$ 获得,其中估计得到的双边滤波器由下式给出:

$${\underline{K}}_{ni,k}^T(L)=\sum _{k=-M}^M{\underline{K}}_{ni,k}^T{L}^k.$$

由于因子的估计依赖于双边滤波器,这种方法不太适合用于预测,因为因子当前值的估计无法获得,从而在预测因变量的未来值时无法以其为条件。