10.2.3 一致性与效率

10.2.3 一致性与有效性

Stock and Watson（2002a）给出了在什么条件下未观测的共同因子可以被一致地估计，以及主成分分析能够一致地估计共同因子张成的空间。同样重要的是，他们确定了何时基于因子估计和预测关系式（10.13）的估计系数的可行预测在如下意义上是渐近有效的：至少在一阶意义上，使用提取的因子与使用真实因子相比，不会造成任何信息损失。他们的条件相当一般，允许误差项存在序列相关以及"弱"的时间不稳定性。

具体而言，Stock and Watson（2002a）假定诸如（10.12）之类的表示中的因子和因子载荷满足：(a) $\left({\Lambda }^{\prime }\Lambda /N\right)\to I_r$；(b) $E\left[F_t^{\mathcal{P}}{F}_t^{\mathcal{P}\prime }\right]={\Sigma }_{FF}$，其中 ${\Sigma }_{FF}$ 为对角矩阵，且当 $i<j$ 时 ${\sigma }_{ii}>{\sigma }_{jj}$；(c) $\left|{\lambda }_{i,m}\right|\le \bar{\lambda }<\infty$；以及 (d) $T^{-1}{\sum }_t{F}_t^{\mathcal{P}}{\check{F}}_t^{{\mathcal{P}}^{\prime }}{}^{\mathcal{P}}{\Sigma }_{FF}$，其中 ${\lambda }_{i,m}$ 为因子载荷的元素。

假定 (a) 和 (d) 确保了每个因子对每个观测变量 ($X_t$) 的变异都贡献了非消失的量。$N^{-1}{\Lambda }^{\prime }\Lambda$ 收敛到正定极限的要求意味着，平均而言，因子以相似的方式影响所有变量。例如，某些因子不能仅影响前几个变量而对一大组其他变量具有零影响（载荷）。

假定 (a) 和 (b) 合起来将因子识别到相差一个元素为 ±1 的对角矩阵。这些假定并不排除因子中的序列相关，也不排除因子二阶矩的条件动态。然而，因子方差中的趋势或结构断裂等时变形式被排除了。

Stock and Watson 允许因子模型 ${\epsilon }_{xt}$ 中的新息存在序列相关和弱的横截面相关。尽管没有作出正态性之类的具体分布假定，但他们对创新项四阶矩的假定排除了某些误差分布。

这些假定与严格因子模型和近似因子模型之间的区别有关。严格因子模型假定新息向量 ${\epsilon }_{xt}$ 的元素之间互不相关，因此 $E\left[{\epsilon }_{xt}\right]=0,E\left[{\epsilon }_{xt}{\epsilon }_{xt}^{\prime }\right]=$ $\mathrm{diag}({\sigma }_1^2,\dots ,{\sigma }_N^2)]$，以及 $E[F_t{\epsilon }_{xt}^{\prime }]=0$。近似因子模型从两个方面放松了这些强假定。首先，它们允许特质误差中存在弱序列相关。结果表明，只要特质误差服从平稳的 ARMA 过程，当 $N$ 趋于无穷时，主成分估计量仍然是一致的。其次，特质误差可以存在弱的横截面相关和异方差性。如果某些变量形成聚类，则这一点可能具有重要意义。特质误差和因子之间也可以存在弱相关。

在这些假定下，Stock and Watson（2002a）证明真实因子可以被一致地估计，并在相差一个符号变换的意义下被识别。具体地，对于具有 $k$ 个估计因子的模型，令 $N,T\to \infty$，可以选择一组指示变量 $S_i\in \{-1,+1\}$，使得根据 Stock and Watson（2002a，定理 1），

$$T^{-1}\sum _{t=1}^T(S_i{\hat{F}}_{it}^p-F_{it}^p{)}^2{\to }^{p}0\mathrm{for}i=1,\dots ,r,$$

S _ { i } \hat { F } _ { i t } ^ {p} ^ {p} F _ { i t } ^ {p} \quad \mathrm { ~f o r} i = 1, . . . , r ,

$$T^{-1}\sum _{t=1}^T({\hat{F}}_{it}^{\hat{P}}{)}^2{\to }^{\hat{P}}0\mathrm{for}i=r+1,\dots ,k.$$

回到基于静态因子表示的一般预测方程，

$$y_{t+1}={\beta }_F^{\prime }{F}_t^{mathringP}+{\beta }_w^{\prime }{w}_t+{\epsilon }_{yt+1},\text{\hspace{1em}(10.19)}$$

其中 $w_t$ 包含可观测的预测变量，包括 $y$ 的滞后值。也许 Stock and Watson 证明的最重要结果是：可行预测（基于提取的因子和预测模型参数的估计）渐近收敛到最优的不可行预测——后者假定 $F_t^P$ 和 $({\beta }_F^{\prime }{\bar{\beta }}_w^{\prime }{)}^{\prime }$ 是已知的——从而确保了可行系数估计是一致的。为了证明这一点，Stock and Watson 使用了关于预测方程的标准假定来保证参数估计的一致性，但加入了额外的假定以处理使用估计量 ${\hat{F}}_t^p$ 替代 $F_t^P$ 这一事实。

定义 $z_t=(F_t^{p\prime }{w}_t^{\prime }{)}^{\prime }$ 以及 $\beta =({\beta }_F^{\prime }{\beta }_{\omega }^{\prime }{)}^{\prime }$，且 $|\beta |<\infty$，Stock and Watson（2002a）假定 $E\left[z_t{z}_t^{\prime }\right]={\Sigma }_{zz}$ 为正定矩阵。此外，

$$T^{-1}\sum _t{z}_t{z}_t^{\prime }\to P_{\tau z},$$

$$T^{-1}\sum _t{z}_t{\epsilon }_{yt+1}{\to }^{p}0,$$

$$T^{-1}\sum _t{\epsilon }_{yt+1}^2{\to }^p{\sigma }^2.$$

结合这些假设以及前面关于因子和误差矩的假设，Stock 和 Watson (2002a) 对通过将 $\{y_{t+1}{\}}_{t=1}^{T-1}$ 对 $\{{\hat{F}}_t^p,x_t^{\ast }{\}}_{t=1}^{T-1}$ 进行回归所得到的 OLS 估计量 $({\hat{\mathbf{\beta }}}_F^{\prime }{\hat{\mathbf{\beta }}}_{x^{\ast }}^{\prime }{)}^{\prime }$ 建立了相应的结论。具体而言，他们证明了

$$({\hat{\beta }}_F^{\prime }{\hat{F}}_T^{\mathcal{P}}+{\hat{\beta }}_w^{\prime }{w}_T)-({\beta }_F^{\prime }{F}_T^{\mathcal{P}}+{\beta }_w^{\prime }{w}_T){\to }^{\mathcal{P}}0.$$

此外，${\hat{\beta }}_{\omega }-{\beta }_{\omega }{\to }^{P}0$，且存在 $S_i\in \{-1,+1\}$ 使得 $S_i{\hat{\beta }}_{iF}-{\beta }_{iF}^{P}0$，其中 $i=1,\dots ,r$。${}^5$

综上所述，即使在包含特异冲击的弱序列相关和弱横截面相关的近似因子结构下，公共因子也可以在相当温和的速率和矩条件下被一致地估计出来。进而，这样的因子估计量可以在将未来实现变量投影到因子的预测模型中当作真实因子来使用，因为回归系数的渐近性质不会受到因子估计误差的影响。

尽管这些理论结果具有优雅性和一般性，但我们还应牢记，正如 Ng (2013) 以及第 6 章的讨论所强调的，在选择真实模型（一致模型选择）和生成准确预测之间存在着一种不可避免的权衡。因此，那些能够（渐近地）识别正确因子结构并一致估计模型参数的方法，并不一定能够产生最佳的预测结果。