10.2.1 极大似然估计（小样本）

10.2.1 极大似然估计（小N情形）

当变量个数 N 较小时，可以采用三步参数估计方法来获得精确的动态因子模型。第一步利用卡尔曼滤波器对 $\{y_{t+1},x_t\}$ 的高斯似然函数参数进行估计。第二步使用卡尔曼滤波器与平滑器提取未知因子实现值 $\{F_t{\}}_{t=1}^T$ 的估计。第三步，也是最后一步，通过将被解释变量对因子估计值以及任何被认为相关的可观测变量 ${\mathbf{x}}_t^{\ast }$ 进行投影来计算预测值。该方法涉及非线性优化，这在实践中限制了问题的维度。

Stock 和 Watson（2006）讨论了在由方程（10.5）–（10.9）所表示的数据生成过程中，良好识别的高斯似然函数存在的条件。首先，要求特质成分可以用有限阶自回归过程表示为 ${\delta }_i(L){\epsilon }_{xit}=v_{xit}$ 和 ${\delta }_y(L){\epsilon }_{yt}=v_{yt}$，如方程（10.6）和（10.9）所示。其次，要求因子动态能够通过有限阶自回归过程捕捉，即 $\Gamma (L)F_t=v_{ft}$，如（10.7）所示，其中新息项 $(v_{x1t},\dots ,v_{xNt},v_{yt},v_{f1t},\dots ,v_{frt})$ 互不相关、独立同分布且服从正态分布。最后，（10.5）和（10.8）中的 ${\lambda }_i(L)$ 和 ${\lambda }_y(L)$ 应为有限阶滞后多项式。

在这些假设下，卡尔曼滤波器可用于计算由（10.5）、（10.7）和（10.11）组成的动态系统的似然函数。所得似然函数可通过 EM 算法进行最大化以获得极大似然估计，而卡尔曼平滑器可用于提供因子的估计 ${\hat{\mathbf{F}}}_t$。在此基础上，可以通过使用截至时间 T 的数据进行普通最小二乘回归来计算预测值：

$$y_{T+1}=\beta (L){\hat{F}}_T+\gamma (L)y_T+{\epsilon }_{T+1}.\text{\hspace{1em}(10.14)}$$

$\beta (L)$ 和 $\gamma (L)$ 的估计量将是一致的，因为因子估计中的误差 $F_T-{\hat{F}}_T$ 与 $\hat{F}$ 和 $y$ 的当前及过去值不相关。

在卡尔曼滤波器的一个有趣应用中，Aruoba、Diebold 和 Scotti（2009）采用单因子方法，根据以周频、月频和季度频率测度的基础数据，提取经济周期状态的日度综合度量指标。该应用利用了卡尔曼滤波器允许潜在状态变量以与可观测变量不同的频率演化的能力。尽管 Aruoba、Diebold 和 Scotti 并未将提取的因子用于预测，但显然他们的因子可以用于此类目的。我们将在第 21 章进一步讨论该方法。