10.1.1 动态因子模型

10.1.1 动态因子模型

正如 Stock and Watson (2006) 所证明的，式 (10.3) 中的预测模型可由关于 $x$ 和 $y$ 动态的相当一般化的方法导出。本节沿用其分析思路，并构建推导出预测模型 (10.3) 的框架。

假设有一组面板数据 $\{x_{it}\},i=1,\dots ,N,t=1,\dots ,T$ 可用，且每个观测变量 $x_{it}$ 的变动可以分解为共同成分 $F_t$ 的过去与当期值的影响以及特质成分 ${\epsilon }_{xit}$：

$$x_{it}={\lambda }_i(L{)}^{\prime }{F}_t+{\epsilon }_{xit},\text{\hspace{1em}(10.5)}$$

其中 $x_{it}$ 和 ${\epsilon }_{xit}$ 是标量，$F_t$ 是 $(q\times 1)$ 维的不可观测的共同因子向量，而 ${\lambda }_i(L)=({\lambda }_{i1}(L),{\lambda }_{i2}(L),\dots ,{\lambda }_{iq}(L){)}^{\prime }$ 是包含动态因子载荷的向量滞后多项式。此外，特质冲击通常被假定与所有领先和滞后期上的因子不相关，即对所有 $i$、$t$ 和 $s$，有 $E[F_t{\epsilon }_{xis}]=0$。由于因子的当期和过去值会影响 $x$ 变量的当期值，该模型显然是动态的。² 动态性也可能通过特质冲击 ${\epsilon }_{xit}$ 的序列相关产生：

$${\delta }_i(L){\epsilon }_{xit}=v_{xit},\text{\hspace{1em}(10.6)}$$

其中 $v_{xit}$ 在已知过去信息的条件下不可预测，即 $E[v_{xit}|F_{t-1},x_{t-1},F_{t-2},x_{t-2},\dots ]=0$，且 $x_{t-1}=(x_{1t-1},\dots ,x_{Nt-1}{)}^{\prime }$ 包含完整的变量集合。

假设共同因子的动态可通过如下形式的自回归过程刻画：

$$\Gamma (L)F_t=v_{ft},\text{\hspace{1em}(10.7)}$$

其中 $\Gamma (L)$ 是矩阵滞后多项式，$v_{ft}$ 是不可预测的创新项向量。

共同因子结构 (10.5) 假定同样适用于我们所关注的预测变量 $y$：

$$y_t={\lambda }_y(L{)}^{\prime }{F}_t+{\epsilon }_{yt},\text{\hspace{1em}(10.8)}$$

其中 ${\epsilon }_{yt}$ 可能存在序列相关，可通过如下自回归过程刻画：

$${\delta }_y(L){\epsilon }_{yt}=v_{yt},\text{\hspace{1em}(10.9)}$$

且 $v_{yt}$ 被假定在已知当期信息的条件下不可预测，即 $E[v_{yt+1}|F_t,x_t,y_t,F_{t-1},x_{t-1},y_{t-1},\dots ]=0$。

Stock and Watson (2006) 证明了 (10.8) 和 (10.9) 与 (10.3) 中的因子模型是一致的。具体地，将式 (10.8) 左乘 ${\delta }_y(L)$ 并利用 (10.9)，可得

$${\delta }_y(L)y_{t+1}={\delta }_y(L){\lambda }_y(L{)}^{\prime }{F}_{t+1}+v_{yt+1},$$

或等价地，

$$y_{t+1}={\delta }_y(L){\lambda }_y(L{)}^{\prime }{F}_{t+1}+L^{-1}(1-{\delta }_y(L))y_t+v_{yt+1}.\text{\hspace{1em}(10.10)}$$

定义 ${\beta }_f(L)F_t=E[{\delta }_y(L){\lambda }_y(L{)}^{\prime }{F}_{t+1}|F_t,F_{t-1},\dots ]$ 以及 $\gamma (L)=L^{-1}(1-{\delta }_y(L))$，可将 (10.10) 改写为

$$y_{t+1}=\beta (L)F_t+\gamma (L)y_t+u_{yt+1},\text{\hspace{1em}(10.11)}$$

其中 $u_{yt+1}=v_{yt+1}+\{{\delta }_y(L){\lambda }_y(L{)}^{\prime }{F}_{t+1}-E[{\delta }_y(L){\lambda }_y(L{)}^{\prime }{F}_{t+1}|F_t,F_{t-1},\dots ]\}$ 包含了 $y$ 特有的特质冲击 ($v_{yt+1}$) 以及对共同因子的冲击 $v_{ft+1}$。该方程因此将 $y$ 的未来值表示为共同因子的过去值、$y$ 自身的过去值以及未来冲击 $u_{yt+1}$ 的函数，而 $u_{yt+1}$ 的均值在已知当期信息的条件下不可预测。这与 (10.3) 相一致，唯一的区别在于 $x^{\ast }$-变量，为简便起见，此处将其略去。

在 $N$ 较大的情况下，使用如下静态表示法重述动态因子模型较为方便：

$$X_t=\Lambda F_t^p+{\epsilon }_{xt},\text{\hspace{1em}(10.12)}$$

其中 $F_t^p=(F_t^{\prime },F_{t-1}^{\prime },\dots ,F_{t-p+1}^{\prime }{)}^{\prime }$ 是 $(r\times 1)$ 维向量，堆叠了共同成分的当期与滞后值（其中 $r=p\times q$），${\epsilon }_{xt}$ 仍表示特质成分。将 (10.12) 与因子动态的自回归模型相结合，可得到以 $F_t^p$ 为潜在状态、以 (10.12) 为观测方程的状态空间方程。³

(10.12) 中的因子表示法引出如下形式的预测模型：

$$y_{t+1}={\beta }^{\prime }{F}_t^p+\gamma (L)y_t+{\epsilon }_{yt+1},\text{\hspace{1em}(10.13)}$$

其中因子的当期和滞后值的影响通过 $\beta$-系数体现。

10.2 因子估计

到目前为止，我们一直假设可以使用一组因子估计值。在实践中，因子几乎总是不可观测的，因此必须对其进行估计。提取因子的两种主要方法是参数方法和非参数方法。参数方法利用关于模型中创新的动态和分布的假设，而非参数方法（如主成分分析）则使用较弱的假设来识别因子。