10.1 因子模型预测

10.1 基于因子模型的预测

当面对嵌入在大量潜在相关预测变量 $x_{it},i=1,\dots ,N$ 中的信息时，最简单的预测方法是考虑如下形式的线性模型

$$y_{t+1}=\alpha +\sum _{i=1}^N{\beta }_i(L)x_{it}+\gamma (L)y_t+{\epsilon }_{yt+1},\text{\hspace{1em}(10.2)}$$

其中 ${\beta }_i(L)={\sum }_{j=0}^{P_x}{\beta }_{ij}{L}^j$ 是一个阶数为 ${\varphi }_x$ 的滞后多项式，它包含第 $i$ 个变量的回归系数，而 $\gamma (L)={\sum }_{j=0}^{p_y}{\gamma }_j{L}^j$ 是一个阶数为 $P_y$ 的滞后多项式。虽然我们假设预测期为一期，但通过将 $y_{t+h}$ 对在 $t$ 时刻观测到的变量做投影，该模型很容易适应任意预测期 $h$。忽略 ${\epsilon }_y$ 中潜在的自相关，只要均值参数的总数 $N_{\beta }=N\times p_x+p_y+1$ 相对于时间序列长度 $T$ 较小，该模型即可通过 OLS 估计。然而，通常情况下 $N_{\beta }>T$，因此常规估计方法不可行。通行做法转而假设：少数 $(n_{x^{\ast }})$ 关键预测变量 $x^{\ast }$ 直接影响 $y$，而大多数 $x$ 变量仅通过一组 $q$ 个共同成分 $F_{?}$ 影响 $y$，其中 $q$ 远小于 $N$。

将我们的注意力集中于线性模型，这意味着使用如下形式的模型

$$y_{t+1}=\alpha +{\beta }_f(L{)}^{\prime }{F}_t+\gamma (L)y_t+{\varphi }^{\prime }(L)x_t^{\ast }+{\epsilon }_{yt+1},\text{\hspace{1em}(10.3)}$$

其中 $F_t=(F_{1t},\dots ,F_{qt}{)}^{\prime }$ 是从 $N$ 个原始预测变量 $x_t$ 的列表中提取出的一组 $q$ 个共同因子。这里 ${\beta }_f(L)$、$\gamma (L)$ 和 $\varphi (L)$ 分别是阶数为 $p_f$、$p_y$ 和 $p_{x^{\ast }}$ 的向量滞后多项式，因此该模型共有 $p_f\times q+p_y+p_{x^{\ast }}\times n_{x^{\ast }}+1$ 个参数。经济理论可以为某些 $x^{\ast }$ 变量的纳入提供理由——例如，菲利普斯曲线建议在通货膨胀率的模型中纳入当前和滞后的失业率。如果这些变量的特异性变动对 $y_{:}$ 有影响，则应将它们纳入模型，因为共同因子会抑制这类信息。通常假定这些变量的身份是事先已知的，因为否则对这些变量的搜寻很快会变得不可行。

为了直观理解这在实践中的意义，假设所有滞后多项式都包含两个滞后阶数 $(p_y=p_x=p_f=p_{x^{\ast }}=2)$，且 $N=200$，而 $q=4$，$n_{x^{\ast }}=2$。那么 (10.2) 式中的预测模型需要拟合 403 个参数，而 (10.3) 式中的模型仅需估计 15 个参数。当然，只有当因子数量 $q:$ 和"直接"影响来源的数量 $n_{x^{\ast }}$ 相比 $N$ 个原始变量 $x_t$ 显著缩减时，(10.3) 式的表示才具有参数简约性。

预测者仅在共同因子有助于改善对目标变量 $y_{t+1}$ 的预测这一程度上对其感兴趣。如果因子已知，使用 (10.3) 式进行预测仅相当于为 $F$、$x^{\ast }$ 和 $y$ 选择适当的滞后期数并估计其系数。只要所有变量都已经过变换使之平稳，便可以使用 OLS 估计以及诸如 BIC 等模型选择准则来选择滞后期数。

在实践中，共同因子通常是未知的，因此必须从数据中提取。使用共同因子模型进行预测可被视为一个两步过程。第一步，提取共同因子的估计值。第二步，利用这些因子以及被预测变量的过去值和可能的其他相关变量来选择并估计一个预测模型。

为了将预测付诸实施，假设已经提取出一组因子估计值 ${\hat{F}}_t$。然后将这些估计值与 $y$ 和 $x^{\ast }$ 的当前和过去值一起用于 (10.3) 式，以选择并估计一个预测模型。因此，实际预测呈现以下形式：

$${\hat{f}}_{t+1|t}=\hat{\alpha }+\sum _{j=1}^{p_f}{\hat{\beta }}_j^{\prime }{\hat{F}}_{t+1-j}+\sum _{j=1}^{p_y}{\hat{\gamma }}_j{y}_{t+1-j}+\sum _{j=1}^{p_{x^{\ast }}}{\hat{\varphi }}_j^{\prime }{x}_{t+1-j}^{\ast },\text{\hspace{1em}(10.4)}$$

其中 $\{\hat{\alpha },{\hat{\beta }}_j,{\hat{\gamma }}_j,{\hat{\varphi }}_j\}$ 是通过将被预测变量对一个常数以及提取出的因子、被预测变量和 $x^{\ast }$ 变量的滞后值进行回归而得到的。