9.7 结论

向量自回归提供了一种连贯的方法来生成内部一致的多期预测，并考虑所纳入变量之间的同期和动态相关性。虽然基础VAR模型是预测文献中一个强大的工具，但一旦纳入的变量超过少数几个，需要估计的参数数量就会迅速增加。这有时会导致参数估计误差变大。不同的方法论已经发展出来以处理与此类估计误差相关的问题，最突出的是贝叶斯估计方法。Baillie（1979）推导了由VAR生成的多步预测的渐近均方误差表达式，持续的研究不断致力于解决控制多元预测模型风险的重要性问题。

近年来在计算方法和估计技术领域取得了重要进展。贝叶斯方法以及因子增广方法现在可用于处理大规模条件信息集。通过DSGE模型施加经济动机约束是另一个取得重要进展的领域，这有助于经济理论的使用。这类模型可用于进行条件预测评估实验，并具有减少估计误差影响的潜力。

数据丰富环境下的预测

在许多预测练习中，预测者能够获得大量可能被用于构建预测模型的相关变量。预测者同样经常没有强有力的理论理由将其中许多变量排除在模型之外。这种信息的丰富性源于对特定变量的不同测量方式以及不同的信息聚合层次。许多经济变量，例如利率、产出或就业，可以采用多种方式测量和报告。例如，作为利率的衡量指标，可以使用隔夜银行利率、三个月期Libor、不同期限结构点的国库券利率、商业票据利率、远期利率或掉期利率。我们通常没有特别的理由选择其中一种而非另一种。关于聚合问题，可以使用实际GDP等单一指标来衡量总产出，或者将其分解为行业、子行业或地理区域，以获得更细粒度的产出度量。结果是，合理预测变量的维度常常非常大，甚至超过构建预测模型所可用的样本规模。

当条件信息变量$x_t$的维度相对于样本规模较大时，前几章中的大多数方法无法直接应用。当待估计参数的数量超过可用观测值时，线性回归、VAR或VARMA模型以及传统的基于协方差的估计方法都不可行。非参数方法甚至更不可行。即使这一约束不起作用，当估计参数的数量相对于样本规模较大（但仍然较少）时，参数的估计可能过于不精确，以至于无法构建表现良好的预测模型。许多模型选择方法也变得不可行，因为需要考虑的潜在模型数量太多。

面对这些挑战，我们需要构建更简洁模型的方法。在使用线性模型且预期最佳预测模型是稀疏的情况下——即大多数变量对预测无用——可以使用Lasso（第6章）等方法。这些方法在变量之间相关性不高时效果最好，这在实践中排除了许多经济应用。另一种方法试图逐个变量地选择被认为对目标变量特别相关的预测变量子集，通常通过在潜在相关变量的子集上进行搜索来实现。这是Ng（2013）所综述的更广泛的正则化方法领域的一部分。

本章描述的因子方法采用了一种不同的方法，试图使用降维技术提取$x_t$中的显著信息。当$x_t$中的变量存在共线性时，这类方法特别有用。因子模型对原始$x_t$取线性组合，选择一组较小的线性组合来捕捉$x_t$中的大部分变化。然后将这些线性组合（即因子）用于预测$y_{t+1}$。具体而言，假设各个x变量与一组公共因子$F_t$线性相关，使得

$$x_{it}={\Lambda }_i^{\prime }{F}_t+{\epsilon }_{it},i=1,\dots ,N,\text{\hspace{1em}(10.1)}$$

其中${\Lambda }_i$是一个$(q\times 1)$的因子载荷（常数）向量，$F_t$是一个$(q\times 1)$的因子向量，${\epsilon }_{it}$是特质冲击。右侧的每个对象$\{{\Lambda }_i,F_t,{\epsilon }_{it}\}$都是不可观测的，且两个随机成分互不相关，因此它们构成了$x_{it}$的一个分解。对每一边取平方的期望（在去除均值之后），可以将$x_t$的变化分解为一个因子成分和一个特质成分。在预测中使用因子分析的期望是，存在一个分解使得$q$足够小，从而$F_t$因子能够解释$x_t=(x_{1t},\dots ,x_{Nt}{)}^{\prime }$中很大一部分变化，但在预测方程中使用因子而不是原始数据时，变量数量要少得多。

宏观经济分析中的因子模型可追溯至 Geweke (1976) 和 Sargent and Sims (1977)。关于潜在因子动力学的早期研究包括 Sargent and Sims (1977)、Engle and Watson (1981)、Sargent (1989)、Stock and Watson (1989, 1991) 以及 Quah and Sargent (1993)。早期文献中的许多研究保持 N 固定而令 $T\to \infty$。在金融领域也存在一个密切相关的研究文献,探讨股票收益横截面中共同因子的存在性;参见 Chamberlain and Rothschild (1983) 和 Connor and Korajczyk (1986)。该设定更适于用固定 T 而令 $N\to \infty$ 来刻画。关于动态因子模型的近期研究,例如 Stock and Watson (2002a) 和 Bai and $\mathrm{Ng}$ (2002, 2006),则令 N 和 T 同时趋于无穷。

文献在因子结构所施加假设的严格程度上有所不同。假设少数几个因子能够解释经济变量中大部分的共同变动,则剩余的特质变动要么互不相关——这便是精确因子结构的情形 (Chamberlain and Rothschild, 1983)——要么在横截面上的相关性显著弱于原始数据中的相关性,从而产生了近似因子结构。

从预测的角度看,因子分析是一种相对无模型的方法,不需要对哪些变量重要做出强假设;参见,$e.g.$,Breitung and Eickmeier (2006)。事实上,研究者可以对哪些变量应纳入保持相对不可知的态度,尽管在实践中,从中提取共同因子的初始预测变量集的设计可能相当重要。如果"大多数"变量的预测信息能被共同因子所捕捉,而变量特有的信息仅对少数特定变量(最显著的是被预测变量自身的滞后项)具有预测价值,则该方法有望表现良好。

本章将介绍在预测模型中纳入共同因子的方法。10.1 节讨论动态和静态因子模型,以及因子在预测模型中(作为条件信息)所发挥的作用;10.2 节转向因子模型的估计,10.3 节讨论确定刻画高维数据集所需因子数量的方法。10.4 节讨论因子构建和因子解释中的实际问题,10.5 节讨论经验证据。最后,10.6 节简要介绍如何运用面板方法对具有大横截面维度的数据构建预测。10.7 节给出总结。