9.5 条件预测

9.5 条件预测

情景预测提供了一种计算预测的方法，其条件是预测模型中某些变量的未来取值。固定子集变量的未来取值对预测有两个影响。首先，最明显的是，固定变量不再需要被预测，而是假定为已知（被条件化）。其次，由于这些变量在预测模型下具有联合分布，因此在给定固定变量的情况下，其余变量的条件分布通常会发生变化。

Waggoner 和 Zha（1999）研究了条件预测的情形，其中对未来内生变量集合的取值施加了约束，这些内生变量是 $(n\times 1)$ 向量 $y$ 的 $\mathrm{VAR}(p)$ 模型的一部分。对于 $y$ 服从 VAR(1) 过程的特殊情形，他们的设定简化为

$$A_0{y}_t+A_1{y}_{t-1}=d+{\epsilon }_t,t=1,\dots ,T,\text{\hspace{1em}(9.47)}$$

其中，对于 $s>0$，

$$\begin{array}{r}E[{\epsilon }_t{\epsilon }_t^{\prime }|y_{t-s}]=I,\\ E[{\epsilon }_t|y_{t-s}]=0.\end{array}$$

从（9.47）生成预测最简便的方法是将模型改写为

$$y_t=c+B_1{y}_{t-1}+A_0^{-1}{\epsilon }_t,$$

$$\text{其中}c=A_0^{-1}d,B_1=-A_0^{-1}{A}_1.$$

Waggoner 和 Zha 证明，给定 $T$ 时刻信息，$T+h$ 期的样本外预测具有如下形式

$$y_{T+h}=K_{h-1}c+B_1^h{y}_T+\sum _{j=1}^h{M}_{h-j}{\epsilon }_{t+j},\text{\hspace{1em}(9.48)}$$

其中 $K$ 和 $M$ 可以以递归形式刻画：

$$K_h=\sum _{j=0}^h{B}_1^j,$$

$$M_i=A_0^{-1}{B}_1^i,$$

且 $B_1^0=I$。（9.48）中的前两项刻画了 $\mathrm{VAR}(1)$ 模型通常的预测动态。对于无条件预测，涉及脉冲响应矩阵 $M_i$ 的第三项为 0。对于以 $y_{T+h}$ 的未来取值为条件的预测，这一条件不必成立。例如，如果我们将 $y_{T+h}$ 的第 $j$ 个元素约束在某个范围 $y_{T+h}(j)\in [\underline{y}(j);\bar{y}(j)]$ 内，由（9.48）可知，这等价于对加权和的冲击进行约束，使得

$$\sum _{j=1}^h{M}_{h-j}{\epsilon }_{T+j}\in [\underline{y}(j)-K_{h-1}c-B_1^h(j)y_T;\bar{y}(j)-K_{h-1}c-B_1^h(j)y_T],$$

因此 $\epsilon$ 未来取值的期望，在该范围信息的条件下，不再为 0。

另一种方法是，我们可以考虑硬约束条件，将 $y_{T+h}^{\prime }$ 的 $q$ 个元素限制为单一取值 $r(a)$，

$$R(a{)}^{\prime }\epsilon =r(a),\text{\hspace{1em}(9.49)}$$

其中 $a=(\mathrm{vec}(A_0{)}^{\prime }\mathrm{vec}(-A_1,d{)}^{\prime }{)}^{\prime }$，$R(a)$ 是一个 $(q\times k)$ 的权重矩阵，用于堆叠脉冲响应，$k=hm$ 是未来冲击 $\epsilon$ 的个数。在（9.49）的约束下，Waggoner 和 Zha（1999，命题 2）证明，给定向量参数 $a$、截至 $T+h-1$ 时刻的所有观测数据 $Z_{T+h-1}$，并假设冲击 $\epsilon$ 服从高斯分布，记 $y_{T+h}$ 的条件分布为 ${\psi }_R(y_{T+h}|a,Z{Y}_{T+h-1})$，该分布为高斯分布：

$$\begin{array}{r}{p}_R(y_{T+h}^{\prime }|a,Z_{T+h-1})=\mathrm{N}\left(c+B_1{y}_{T+h-1}+A_0^{-1}{E}_R[{\epsilon }_{T+h}],A_0^{-1^{\prime }}{V}_R({\epsilon }_{T+h}^{\prime })A_0^{-1}\right),\end{array}\text{\hspace{1em}(9.50)}$$

其中 $E_R[{\mathcal{E}}_{T+h}^{\prime }]$ 和 $V_R[{\sigma }_{T+h}^{\prime }]$ 分别是 ${\epsilon }_{T+h}$ 的受限（条件）均值和方差，即

$$\begin{array}{rl}{\epsilon }_{T+h}^{\prime }& \sim \mathrm{N}(E_R[{\epsilon }_{T+h}^{\prime }],V_R({\epsilon }_{T+h}^{\prime })),\\ E_R[{\epsilon }_{T+h}^{\prime }]& =R(a){\left[R(a{)}^{\prime }R(a)\right]}^{-1}r(a),\\ V_R({\epsilon }_{T+h}^{\prime })& =I-R(a){\left[R(a{)}^{\prime }R(a)\right]}^{-1}R(a{)}^{\prime }.\end{array}\text{\hspace{1em}(9.51)}$$

图 9.2：失业率的递归预测。该图显示了由贝叶斯 VAR（BVAR）、通过 AIC 或 BIC 信息准则选择滞后阶数的 VAR、通过 AIC 选择滞后阶数的单变量 AR，以及具有 16 阶滞后的 VAR 所生成的失业率预测。

瓦戈纳和扎提出了一种吉布斯采样器，能够在生成这些条件预测时考虑参数估计误差。给定参数的初始值 $a^{(0)}$，该程序首先利用 (9.50) 和 (9.51) 式，在给定 $a^{(i-1)}$ 的条件下生成 $y_{T+1}^{(i)},\dots ,y_{T+h}^{(i)}$ 的值。然后，利用这些值，从 $p(a|{\gamma }_{T+1}^{(i)},\dots ,{\gamma }_{T+h}^{(i)},y_T,\dots ,y_1)$ 中抽取 $a^{(i)}$。将此过程重复大量次数，以获得一组考虑估计误差的样本外预测。