9.4.1 DSGE模型的估计与预测计算

9.4.1 DSGE模型的估计与预测计算

DSGE模型的估计可以使用线性化DSGE模型的状态空间表示来进行，前提是假设创新项服从正态分布。设$s_t$表示状态变量向量，假设我们可以通过对数线性化的一阶VAR来近似DSGE模型的解：

$$s_t={\Phi }_1(\theta )s_{t-1}+{\Phi }_{ϵ}(\theta ){\epsilon }_t,\text{\hspace{1em}(9.43)}$$

其中向量${\epsilon }_t$收集了对模型的结构性冲击（创新项），即在上述小型模型中${\epsilon }_t=({\epsilon }_{Rt},{\epsilon }_{gt},{\epsilon }_{zt}{)}^{\prime }$。矩阵${\Phi }_1$和${\Phi }_{ϵ}$依赖于DSGE模型的参数$\theta$。给定此表示，总产出$y_t$的测量方程可以写为：

$$y_t={\Psi }_0(\theta )+{\Psi }_1(\theta )t+{\Psi }_2(\theta )s_t.\text{\hspace{1em}(9.44)}$$

在这些假设下，可以使用卡尔曼滤波器来评估似然函数并估计参数。

由(9.43)和(9.44)产生的一个关键复杂因素是，线性化状态方程和测量方程的参数${\Phi }_1,{\Phi }_{ϵ},{\Psi }_0,{\Psi }_1,{\Psi }_2$与DSGE模型的基本参数$\theta$之间是非线性关系。因此，通常不能使用标准的抽样算法，因为$\theta$的条件概率分布不易获得。为了解决此问题，可以使用随机游走Metropolis算法等；详见Del Negro和Schorfheide(2013)。

使用贝叶斯方法，DSGE模型中因变量的后验预测分布的抽样可以基于以下有用的分解（见Del Negro和Schorfheide, 2013）：

$$p_Y(y_{T+1}|y_1,\dots ,y_T)={\int }_{s_T,\theta }\left[{\int }_{s_{T+1}}{p}_Y(y_{T+1}|s_{T+1})p(s_{T+1}|s_T,\theta ,y_1,\dots ,y_T)d{s}_{T+1}\right]$$

$$\times p(s_T|\theta ,y_1,\dots ,y_T)p(\theta |y_1,\dots ,y_T)d(s_T,\theta ).\text{\hspace{1em}(9.45)}$$

此类抽样使用本章前面描述的相同类型的步骤生成。首先，假设有一个算法可以从后验参数分布$p(\theta |y_1,\dots ,y_T)$中生成抽样${\theta }^j$。接下来，使用卡尔曼滤波器从条件后验分布$p(s_T|{\theta }^j,y_1,\dots ,y_T)$生成抽样$s_T^j$。利用这些抽样，结合${\epsilon }_{T+1}^j$的抽样并使用(9.43)，我们可以从$p(s_{T+1}|s_T^j,{\theta }^j,y_1,...,y_T)$获得抽样。最后，使用(9.44)，我们可以从$y_{T+1}^j$生成抽样：

$$y_t^j={\Psi }_0({\theta }^j)+{\Psi }_1({\theta }^j)t+{\Psi }_2({\theta }^j)s_t^j.\text{\hspace{1em}(9.46)}$$

给定足够数量的抽样，我们可以计算平均预测、预测区间，甚至预测分布，其优点是不依赖于参数估计的代入值$\hat{\theta }$。相反，预测将反映关于基本参数$\theta$、当前状态$s_T$和未来冲击${\epsilon }_t$的不确定性。更多详情，请参见(Del Negro和Schorfheide, 2013, 算法2)。