9.3.7 实证例子：具有收益可预测性的资产配置

9.3.7 实证示例：具有收益可预测性的资产配置

为了说明贝叶斯 VAR 方法的使用，我们接下来回到第 3.5 节的实证资产配置示例，但在一个允许收益可预测性、从而在投资者决策过程中引入市场择时成分的环境中，该设定沿用 Barberis (2000) 的做法。具体而言，假设连续复利的股票收益率 ${\mathbf{r}}_t$（以无风险资产收益 $r_f$ 作为基准的超额收益）中包含一个可预测成分，该成分由单一预测变量 $x_t$ 捕获，并假设 $y_t^{\prime }=(r_t,x_t)$ 服从一阶 VAR：

$$y_t=c+A_1{y}_{t-1}+{\epsilon }_t,{\epsilon }_t\sim \mathrm{ind}N(0,\Sigma ).\text{\hspace{1em}(9.31)}$$

在经典方法下，VAR 参数 $\theta =(c,A_1,\Sigma )$ 可以被估计，并且 (9.31) 式中的 VAR 可以在这些参数估计值的条件下向前迭代。这生成了在参数值条件下的未来累积股票收益的分布 $\begin{array}{r}{p}_Y({\sum }_{\tau =1}^h{y}_{\tau }|Z_T,\hat{\theta })\end{array}$，其中 $Z_T=(y_1,\dots ,y_T)$ 是观测数据向量。具体地，

$$\begin{array}{l}{y}_{T+h}=c+A_{1}c+A_1^{2}c+\cdot \cdot \cdot +A_1^{h-1}c\\ +A_1^h{y}_T+{\epsilon }_{T+h}+A_1{\epsilon }_{T+h-1}+A_1^2{\epsilon }_{T+h-2}+\cdot \cdot \cdot +A_1^{h-1}{\epsilon }_{T+1}.\end{array}\text{\hspace{1em}(9.32)}$$

在给定 $c,A_1,\Sigma$ 的条件下，由 (9.32) 式可知，求和 $y_{T+1:T+h}\equiv y_{T+1}+y_{T+2}+\cdot \cdot \cdot +y_{T+h}$ 服从正态分布，其均值和方差为（参见 Barberis (2000)）

$$\begin{array}{rl}& \begin{array}{rl}& E[y_{T+1:T+h}|\theta ]=hc+(h-1)A_{1}c+(h-2)A_1^{2}c+\cdot \cdot \cdot +A_1^{h-1}c\\ & +(A_1+A_1^2+\cdot \cdot \cdot +A_1^h)z_T,\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& +(A_1+A_1^2+\cdot \cdot \cdot +A_1^h)z_T,\\ & \\ & \mathrm{Var}[y_{T+1:T+h}|\theta ]=\Sigma \end{array}\\ & \begin{array}{rl}& +(I+A_1)\Sigma (I+A_1{)}^{\prime }\\ & +(I+A_1+A_1^2)\Sigma (I+A_1+A_1^2{)}^{\prime }\\ & ⋮\\ & ⋮\\ & +(I+A_1+A_1^2+\cdot \cdot \cdot +A_1^{h-1})\Sigma (I+A_1+A_1^2+A_1^{h-1}{)}^{\prime }.\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(.33)}$$

使用这些表达式并代入参数估计值 $\hat{\theta }=(\hat{c},{\hat{A}}_1,\hat{\Sigma })$，经典投资者最大化未来财富 $u(W_{T+h})$ 的期望效用，其中

$$\underset{\omega \in [0,1)}{\max }\int d\cdot \cdot \cdot \int u(W_{T+h}{)}_{\hat{P}Y}(\sum _{\tau =1}^h{y}_{T+\tau }|Z_T,\hat{\theta })d{y}_{1,T+1}\dots d{y}_{1,T+h},\text{\hspace{1em}(9.34)}$$

其中 $y_{1,T+\tau }=e_1^{\prime }{y}_{T+\tau }$ 选取 ${\gamma }_{T+\tau }$ 的第一个元素，且未来财富由下式给出

$$W_{T+h}=(1-\omega (z))\exp (r_{f}h)+\omega (z)\exp \left(r_{f}h+\sum _{\tau =1}^h{y}_{T+\tau }\right).\text{\hspace{1em}(9.35)}$$

贝叶斯方法仅对数据设定条件，因此使用以下后验密度来计算期望效用：

$$p_Y\left(\sum _{\tau =1}^h{y}_{1,T+\tau }|Z_T\right)=\int p_Y\left(\sum _{\tau =1}^h{y}_{T+\tau }|Z_T,\theta \right)p(\theta |Z_T)d\theta .\text{\hspace{1em}(9.36)}$$

为了从后验收益分布 $\begin{array}{r}p(c,A_1,\Sigma |Z_T)\end{array}$ 中抽样，将模型写为

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{y_2^{\prime }}{⋮}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& y_1^{\prime }\\ ⋮& ⋮\\ y_T^{\prime }& \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}^{\prime }\\ A_1^{\prime }\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{\epsilon }_2^{\prime }\\ ⋮\\ {\epsilon }_T^{\prime }\end{array}\right),$$

或以更紧凑的形式

$$\begin{array}{r}Y=Z\beta +U,\end{array}$$

其中 $Y$ 是一个 $((T-1)\times 2)$ 矩阵，其行为向量 $y_2^{\prime },\dots ,y_T^{\prime }$。假设存在单一预测变量，$Z$ 是一个 $((T-1)\times 2)$ 矩阵，其行为向量 $(1,y_1^{\prime }),\dots ,(1,y_{T-1}^{\prime })$；$U$ 是一个 $((T-1)\times (n+1))$ 矩阵，其行为向量 ${\epsilon }_2^{\prime },\dots ,{\epsilon }_T^{\prime }$。矩阵 $\beta$ 为 $(2\times 2)$，顶行为 $c^{\prime }$，其下为矩阵 $A_1^{\prime }$。

图 9.1：在存在由股息收益率带来的收益可预测性条件下，不同持有期的股票配置比例。

要从贝叶斯预测分布中抽样，我们首先从参数的后验分布 $p(c,A_1,\Sigma |Z_T)$ 中生成大小为 $I$ 的样本。对于每组抽出的参数值 ${\theta }^i=\{c^i,A_1^i,{\Sigma }^i\}$，我们从给定 $Z$ 和 ${\theta }^i$ 条件下的回报分布中抽样。假设先验为无信息先验，Barberis (2000) 表明参数的后验分布由下式给出：

$$p({\Sigma }^{-1}|Z_T)\sim \text{Wishart}(T-n-2,S^{-1}),$$

$$p(\text{vec}(\beta )|\Sigma ,Z_T)\sim \text{N}(\text{vec}(\hat{\beta }),\Sigma \otimes (Z^{\prime }Z{)}^{-1}),$$

其中 $S=(Y-Z\hat{\beta }{)}^{\prime }(Y-Z\hat{\beta })$，而 $\hat{\beta }=(Z^{\prime }Z{)}^{-1}{Z}^{\prime }Y$。后验回报分布的样本通过首先从边际分布 $p({\Sigma }^{-1}|Z_T)$ 抽取，然后从条件分布 $p(C|\Sigma ,Z_T)$ 抽取生成。对于从后验分布 $p(c,A_1,\Sigma |Z_T)$ 中抽出的每组参数，我们从由式 (9.33) 给出的均值和方差的正态分布中生成一个样本。重复此过程多次即可得到来自预测回报分布的一个大样本。

关于由股息收益率——Barberis (2000) 所使用的预测变量——带来回报可预测性的实证结果展示于图 9.1。为了说明估计样本长度的重要性，上图使用了 1927–2013 年期间的季度回报数据，而下图使用了较短的 1994–2013 年 20 年数据样本。结果假设相对风险厌恶系数为 5，并采用幂效用，即式 (3.33) 中的目标函数。我们将无风险利率和股息收益率设定为样本结束时的数值。

首先考虑较长的估计样本（上图）。由于有大量数据可用于估计模型参数，我们观察到在经典方法和贝叶斯方法下的资产配置只有很小的差异。在两种情况下，股票的配置比例都随着预测期限的延长而增加。相比之下，当使用 20 年估计样本时（下图），经典方法和贝叶斯方法下的两种资产配置存在很大差异。在这种情况下，长期投资者在贝叶斯方法下（即考虑了参数估计的不确定性）配置到股票的比例将远小于经典方法下（即忽略这种不确定性）的配置比例。

在较短样本 (1994–2013) 中观察到的非单调模式反映了两种不同的效应。首先，模型在投资决策时刻所依据的股息收益率值相对于预测变量的样本均值相当低。鉴于股息收益率与预期股票回报之间的正向关系，这降低了预期回报，特别是在短至中等期限上。另一方面，股息收益率捕捉了股票回报中缓慢均值回归的成分，这使得股票回报的风险降低，特别是在这种效应占主导地位的较长期限上。

贝叶斯投资者观察到一种截然不同的模式，其股票配置比例从一个月期限时接近 70% 均匀地下降到最长五年期限时的不到 40%。对于该投资者而言，估计误差的影响显然不会随着投资期限的延长而减弱。