9.3.5 高维贝叶斯VAR模型

9.3.5 大维贝叶斯VAR模型

VAR传统上用于建模和预测低维向量。将VAR扩展到包含大维向量会带来问题，因为这样做很可能会导致更大的参数估计误差——回想一下，对于一个无约束的VAR( $p$ )模型，需要估计 $n(np+1)$ 个均值参数。

Banbura、Giannone和Reichlin（2010）将贝叶斯收缩方法应用于大维无约束VAR，使得收缩程度可以依赖于VAR中包含的变量数量。具体而言，随着更多变量被纳入模型，先验的紧度会增大。这种方法可以看作是第10章所介绍的因子模型类型的替代方案，它直接应对了估计误差会随着VAR维度 $n$ 的增加而增大的挑战。

将BVAR写为 $T\times n$ 的多元回归形式：

$$\begin{array}{r}Y=Z\beta +U,\end{array}\text{\hspace{1em}(9.29)}$$

其中，同样地，$Y=(y_1,\dots ,y_T{)}^{\prime },Z=(z_1,\dots ,z_T{)}^{\prime }$，对于 $z_t=(1,y_{t-1}^{\prime },\dots ,y_{t-p}^{\prime }{)}^{\prime }$，$U=(u_1,\dots ,u_T)$，以及 $\beta =(c^{\prime },A_1^{\prime },\dots ,A_p^{\prime })$，Banbura、Giannone和Reichlin（2010）假设标准正态-逆Wishart先验：

$$\begin{array}{c}\mathrm{vec}(\beta )|\Sigma \sim \mathrm{N}(\mathrm{vec}({\beta }_0),\Sigma \otimes {\Omega }_0),\\ \Sigma \sim \mathrm{iW}(S_0,{\alpha }_0),\end{array}$$

其中 $E[u_t{u}_t^{\prime }]=\Sigma =\mathrm{diag}({\sigma }_1^2,\dots ,{\sigma }_n^2)$，先验参数 ${\beta }_0,{\Omega }_0,S_0,{\alpha }_0$ 按照实际上相当于一组修正的明尼苏达先验来选取。为了理解与(9.24)的关键区别，令 $E[(A_k{)}_{ij}]={\delta }_i$，当 $j=i$ 时。当数据平稳时，${\delta }_i<1$ 的先验比原明尼苏达先验（设 ${\delta }_i=1$ 从而假设随机游走）更为合适。这种先验看起来可能难以实施，但Banbura、Giannone和Reichlin（2010）提出了一种基于用 $T_d$ 个虚拟观测 $Y_d$ 和 $Z_d$ 增广模型(9.29)的简单策略，具体如下：

$$\begin{array}{rl}& Y_d=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{diag}({\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n)/\lambda & \\ 0& 0\\ 0& \dots \\ \dots & \dots \\ \mathrm{diag}({\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n)& \\ \dots & \dots \\ 0_{n\times n}& \end{array}\right),\\ & Z_d=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{diag}(1,2,\dots ,p)\otimes \mathrm{diag}({\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n)/\lambda & 0_{n\times n}& \\ \dots & \dots & \\ 0& 0_{n\times n}& \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ 0_{n\times n}& 0_{n\times n}& \dots \\ 0& 0_{n\times n}& \epsilon I_n\end{array}\right),\end{array}$$

其中 $\epsilon$ 是一个很小的数，超参数 $\lambda$ 控制着 $A_k$ 先验方差的紧度，因此可以被视为一个收缩参数。

考虑增广的 $T_{\ast }\times N_{\ast }$ 回归模型的OLS估计：

$$Y_{\ast }=Z_{\ast }\beta +U_{\ast },\text{\hspace{1em}(9.30)}$$

其中

$$T_{\ast }=T+T_d,$$

$$Y_{\ast }=(Y^{\prime },Y_d^{\prime }{)}^{\prime },Z_{\ast }=(Z^{\prime },Z_d^{\prime }),U_{\ast }=(U^{\prime },U_d^{\prime }{)}^{\prime }.$$

Banbura、Giannone和Reichlin（2010）表明，这些OLS估计与基于一组正态-逆Wishart先验的 $\beta$ 的后验均值相同，其中

$${\beta }_0=(Z_d^{\prime }{Z}_d{)}^{-1}{Z}_d^{\prime }{Y}_d,$$

$${\Omega }_0=(Z_d^{\prime }{Z}_d{)}^{-1},$$

$$S_0=(Y_d-Z_d{\beta }_0{)}^{\prime }(Y_d-Z_d{\beta }_0),$$

$${\alpha }_0=T_d-np-1.$$

具体而言，在非正常先验 $\Sigma \sim |\Sigma {|}^{-(n+3)/2}$ 下，后验变为

$$\mathrm{vec}(\beta )|\Sigma ,Y\sim N(\mathrm{vec}(\tilde{\beta }),\Sigma \otimes (Z_{\ast }^{\prime }{Z}_{\ast }{)}^{-1}),$$

$$\Sigma |Y\sim \mathrm{iW}(\tilde{\Sigma },T_d+2+T-np-1),$$

其中 $\tilde{\beta }=(Z_{\ast }^{\prime }{Z}_{\ast }{)}^{-1}{Z}_{\ast }^{\prime }Y$ 和 $\tilde{\Sigma }=(Y_{\ast }-Z_{\ast }\tilde{\beta }{)}^{\prime }(Y_{\ast }-Z_{\ast }\tilde{\beta })$ 是增广模型(9.30)的最小二乘估计。在增广模型的OLS估计中需要求逆的矩阵维度为 $(np+1)$，因此即使 $n$ 和 $p$ 较大这也是可行的。

Banbura、Giannone 和 Reichlin（2010）将这种方法应用于 Stock 和 Watson 使用的数据集，该数据集包含 131 个月度宏观变量。在实际操作中，他们对被视为非平稳的变量设定 ${\delta }_i=1$，而对被视为平稳的变量设定 ${\delta }_i=0$。收缩参数 $\lambda$ 在此设定中显然十分重要。Banbura、Giannone 和 Reichlin（2010）将 $\lambda$ 设定为与包含 13 个月度滞后期、三个变量的 VAR 模型的样本内一步预测均方误差相匹配。此外，他们考虑了 VAR 维度的三个不同取值，即 $n=3$、$n=20$ 和 $n=131$。他们的实证结果考察了就业、CPI 通胀率和联邦基金利率的样本外均方误差表现。对于这些变量，中等规模和大规模模型相对于带漂移项的随机游走基准模型以及仅包含三个变量的小规模模型都表现良好。有趣的是，从 $n=3$ 扩展到 $n=20$ 所带来的预测改进幅度非常大，而进一步扩展至包含 $n=131$ 个变量所带来的改进则较为有限。

Carriero、Kapetanios 和 Marcellino（2009，2012）的类似实证研究表明，大规模贝叶斯 VAR 模型能够对汇率和政府债券收益率生成精确的预测，其表现可与最优的单变量基准模型（例如随机游走）相媲美。对于此类变量而言，这些基准模型通常被认为难以被超越。