9.3.4 时变参数VAR模型

9.3.4 时变参数VAR

继有关大稳健期（Great Moderation）或全球金融危机相关模型不稳定性的经验证据之后，许多近期文献对具有时变参数的VAR进行了建模。7 这些模型最简单的版本假设均值方程的参数 ${\beta }_t$ 服从随机游走过程，即

$$\begin{array}{rl}& y_t=(I_n\otimes z_t^{\prime }){\beta }_t+u_t,\\ & \\ & {\beta }_t={\beta }_{t-1}+{\epsilon }_t,\\ & \\ & {\epsilon }_t\sim \mathrm{N}(0,Q),u_t\sim \mathrm{N}(0,\Sigma ),\end{array}\text{\hspace{1em}(9.26)}$$

其中创新项 ${\epsilon }_t$ 和 $u_t$ 不相关。按照惯例，假设初始状态服从正态分布 ${\beta }_1\sim \mathrm{N}(s_{1|0},P_{1|0})$，并迭代得到 ${\beta }_{t+1}|{\beta }_t,Q\sim \mathrm{N}({\beta }_t,Q)$。

Primiceri (2005)和Karlsson (2013)讨论了该模型Gibbs抽样器的实现。由于 ${\beta }_t$ 是不可观测的状态变量，模型的估计和预测需要用到卡尔曼滤波。时变参数(TVP)模型的Gibbs抽样器首先给定完整数据集和 $\Sigma$ 及 $Q$ 的初始值，使用卡尔曼滤波和模拟平滑器从其完全条件后验分布中抽取 ${\beta }_T$。然后，给定状态 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_T$，对 $Q$ 和 $\Sigma$ 进行更新。最后，使用这些更新后的参数值，通过抽取 $u_{T+1},\dots ,u_{T+h}$ 并在(9.26)上进行迭代，生成后验分布 $y_{T+1},\dots ,y_{T+h}$ 的抽样。

随机波动率模型允许数据中存在时变的二阶矩。在经济学和金融学中有强有力的经验证据支持此类特征的存在。引入时变波动率的一种方法是假设VAR中创新项的方差—协方差矩阵 $u_t$ 不是固定为 $\Sigma$，而是取以下形式

$${\Sigma }_t=L_t^{-1}{D}_t{\left(L_t^{-1}\right)}^{\prime },\text{\hspace{1em}(9.27)}$$

其中对角矩阵 $D_t=\mathrm{diag}(d_{1t},\dots ,d_{nt})$ 具有如下动态（参见Karlsson, 2013）

$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}{d}_{it}=\exp (\frac{1}{2}{h}_{it}),\\ h_{it+1}={\mu }_i+{\varphi }_i(h_{it}-{\mu }_i)+{\eta }_{it},\end{array}\\ {\eta }_t=({\eta }_{1t},\dots ,{\eta }_{nt})\sim \mathrm{ind}\mathrm{N}(0,V_{\eta }).\end{array}\text{\hspace{1em}(9.28)}$$

因此，$n$ 个个别序列的对数波动率 $h_{it+1}$ 被假定服从均值回归过程（如果 $|{\varphi }_i|<1$）或随机游走设定（如果 ${\varphi }_i=1$，在这种情况下通常将 ${\mu }_i$ 设为0）；参见Primiceri (2005)。

矩阵 $L_t$ 可被设定为对角元素为1的下三角矩阵：

$$\begin{array}{r}{L}_t=\left(\begin{array}{lllll}1& 0& 0& \cdots & 0\\ l_{21t}& 1& 0& \cdots & ⋮\\ l_{31t}& l_{32_t}& \ddots & & \\ ⋮& ⋮& & 1& 0\\ l_{n1t}& l_{n2t}& l_{n(n-1)t}& 1& \end{array}\right),\\ l_{ijt}=l_{ijt-1}+{\vartheta }_{ijt},{\left({\vartheta }_{11t},\dots ,{\vartheta }_{n(n-1)t}\right)}^{\prime }\sim \mathrm{ind}\mathrm{N}(0,V_{\vartheta }),i>j.\end{array}$$

自回归参数可以通过使用截断分布约束为使波动率过程平稳，即 ${\varphi }_{ii}\sim \mathrm{N}({\varphi }_0,V_{\varphi })1(|{\varphi }_{ii}|<1)$，其中 $1(\cdot )$ 为示性函数。如Karlsson (2013, 算法13)所讨论的，模型的估计和预测涉及一个带有卡尔曼滤波步骤的Gibbs抽样器，以处理 ${\Sigma }_t$ 中的潜在状态变量。

这些类型的模型在近期文献中得到了广泛应用，并且有大量证据表明，允许时变波动率可以显著改善模型表现。Clark (2011)将随机波动率模型应用于包含GDP增长、失业率、通货膨胀和联邦基金利率的四变量模型的密度预测，而Primiceri (2005)使用随机波动率模型分析货币政策。Clark和Ravazzolo (2014)比较了不同波动率模型预测宏观经济结果的能力。Pettenuzzo和Timmermann (2015)考虑了不同模型对美国GDP增长和通货膨胀的预测能力，发现随机波动率模型生成的密度预测优于马尔科夫区制转换模型或变点模型。另见Koop和Korobilis (2010)。

一个密切相关的文献研究了贝叶斯马尔科夫区制转换VAR模型，参见例如Sims和Zha (2006)、Hartmann等人(2014)以及Hubrich和Tetlow (2015)。Sims和Zha (2006)使用多元区制转换模型分析美国货币政策。Hartmann等人(2014)研究了系统性压力和贷款对欧洲经济的影响，而Hubrich和Tetlow (2015)研究了经济增长与金融困境之间的相互作用。这些模型主要用于分析经济政策，但也可用于预测。