9.3.3 替代先验

9.3.3 替代先验

利特曼先验的限制性较强，因此通常会被放宽。扩展后的版本允许非对角的先验方差-协方差矩阵，并允许 $\beta$ 和 $\Sigma$ 上的先验相关。贝叶斯后验计算可以通过吉布斯采样器等方法来处理。在 $\beta$ 上使用正态先验分布、在 $\Sigma$ 上使用独立的威沙特分布的共轭组合并不能给出后验均值的封闭形式解，但可以得到易于模拟的后验分布。Karlsson（2013）以及 Kadiyala 和 Karlsson（1997）通过引入一种更为一般的先验（他们称之为扩展自然共轭（ENC）先验）来检验和扩展传统先验，该先验放宽了对 $\beta$ 先验的要求。在评估中，这种对先验分布限制的放宽似乎带来了适度的收益。虽然大多数这些方法可以被视为收缩方法，但它们并不通过剔除某些参数而保留其他参数来对参数加以区分。为了弥补这一点，George、Sun 和 Ni（2008）使用了混合先验，其中混合权重从数据中估计。该混合先验介于一个非常紧的先验和一个较松的先验之间，因此如果估计方法对紧先验赋予了较大权重，则系数实际上被设为 0。

在实证研究中，对 $\beta$ 先验设定的若干改进已被证明是有用的。在宏观经济预测的背景下，Ingram 和 Whiteman（1994）以及 Del Negro 和 Schorfheide（2004）建议以一种意味着向系数收缩的方式来设定先验，这些系数来自宏观经济的一个线性化一般均衡模型。其思想是，可以利用一个实际经济周期（RBC）模型来生成数据的隐含方差和协方差。将这些结合便可以得到隐含的 VAR 参数值，它们构成了 OLS 系数的先验。这些方法随后将 OLS 估计向这些隐含值收缩。Ingram 和 Whiteman（1994）开发了一个隐含一阶滞后 VAR 的模型，而对高阶滞后的先验则设为 0。这并不是严格的完全贝叶斯方法，因为这些先验是应用于简约型回归，而非应用于数据的似然函数。Ingram 和 Whiteman 将其称为"有限信息贝叶斯"方法，并发现他们的方法所产生的预测与基于利特曼先验的预测相当，但优于基于无约束 VAR 的预测。

Villani（2009）提出了一种替代的先验获取方法。Villani 受经济模型的启发，直接将信息先验置于模型的稳态上，而非 VAR 的系数上。Villani 使用 VAR 中变量的无条件均值来建模稳态。

Wright（2013）则建议使用来自调查数据的长期预测来确定稳态。使用重新参数化的 VAR，

$$(y_t-\mu )=A_1(y_{t-1}-\mu )+\cdot \cdot \cdot +A_p(y_{t-p}-\mu )+u_t,$$

其中 $E\left[u_t{u}_t^{\prime }=\Sigma \right]$，Wright 建议使用如下先验：

$$\mathrm{vec}(A_{1t}^{\prime },\dots ,A_{pt}^{\prime })\sim N({\theta }_{At},{\Omega }_A),$$

$${\mu }_t\sim \mathrm{N}({\theta }_{\mu t},{\Omega }_{\mu t}),$$

$$\begin{array}{r}{\Sigma }_t\sim |{\Sigma }_t{|}^{-(n+1)/2}.\end{array}$$

请注意，参数允许随 $t$（即模型被估计和预测生成的时点）变化。具体而言，Wright（2011）建议将先验均值 ${\theta }_{\mu t}$ 设定为从 Blue Chip 调查获得的最新长期预测的均值。对于 CPI 通胀、工业产出增长以及短期国债收益率等变量，Wright 报告称，相对于通过最小二乘估计的 VAR 或基于明尼苏达先验的贝叶斯 VAR，使用这种方法在样本外预测表现上取得了显著的提升。