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9.3.2 明尼苏达先验

由无约束（即所谓约简型）VAR 生成的预测会随着 VAR 维度的增加而迅速变得不精确，这是由于参数估计误差的影响。当需要较高的滞后阶数 $p$ 来解释 $y$ 向量中所含变量的序列相关性时，这尤其成问题。如果 $y$ 中某些分量具有高度持续性（例如利率或通货膨胀率），而其他分量则不然，这可能导致模型中包含许多冗余项以及大量未知参数。例如，对于五个变量 $(n = 5)$ 和四个滞后 $(p = 4)$ ，我们需要估计 $n (n p + 1) = 105$ 个均值参数。

允许数据为模型估计提供信息，但又不至于因估计误差而使预测失控，这需要一种平衡策略。为了解决这个问题，Litterman（1979、1986）以及 Doan、Litterman 和 Sims（1984）引入了所谓 VAR 参数的"明尼苏达"先验。在构建以水平值建模的宏观经济变量的预测模型时，Litterman 继续将随机游走作为 VAR 中每个方程的先验模型。因此， $A_{1}$ 的先验是单位矩阵，而对于 $A_{j}$ ， $j > 1$ ，先验是矩阵系数为 0。用 $\underline{A}$ 表示先验，则回归系数 $β$ 先验的均值被设定为

$(\underline{A}_{1})_{ij} = {10 for i = j, for i \neq = j, (\underline{A}_{2})_{ij} = \dots = (\underline{A}_{p})_{ij} = 0.$

先验的强度随预测期而变化，并且也取决于跨变量效应，对其他变量及其滞后施加更大的收缩。

具体而言，明尼苏达先验的一个常见变体通过将自身滞后先验的方差设定为 $π_{1}^{2} / l^{2}$ 来构建第 $i$ 个方程的先验方差-协方差矩阵，其中 $l$ 是滞后长度，因此随着滞后长度的增加，先验会越来越紧。对于 VAR 中其他变量的滞后 $(j = 1, \dots, n, j \neq = i)$ ，先验的方差被设定为 $π_{1}^{2} π_{2} σ_{i}^{2} / (σ_{j}^{2} l^{2})$ ，其中 $σ_{j}$ 是第 $j$ 个方程误差的标准差。因子 $σ_{i} / σ_{j}$ 确保了变量以方差衡量的同一尺度进行标准化。超参数 $π_{1}$ 度量了先验分布在随机游走周围的紧密程度，其中 $π_{1} = 0$ 表示不考虑所有数据的武断随机游走先验，而 $π_{1} = \infty$ 表示对应于 OLS 估计的扩散先验； $π_{2}$ 度量了跨变量效应先验相对于自身变量效应先验的相对紧密程度。最后， $Var (\underline{c}) = \infty$ ，对应于截距项的扩散先验，即 $\underline{c} \sim N (0, κ I)$ ，其中 $κ$ 值非常大。

总之，将 $A_{l}$ 的元素 $i, j$ 的先验方差记为 $\underline{Var} (A_{l})_{ij}$ ，我们有

$\underline{Var} (A_{l})_{ij} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{π _{1}^{2}}{l ^{2}} \frac{π _{1}^{2} π _{2}}{l ^{2}} (\frac{σ _{i}}{σ _{j}})^{2} for i = j, for i \neq = j . (9.25)$

这些定义了 $β$ 先验的方差协方差矩阵 $Ω$ 。最后，对于方差-协方差矩阵——假设 VAR 方程的残差在同期不相关且方差已知。在实际应用中，"已知"的方差被替换为其 OLS 估计值，因此 $Σ = diag (\overset{σ}{^}_{1}^{2}, \dots, \overset{σ}{^}_{n}^{2})$ 。这些合起来被称为 Litterman 先验。由于先验中参数之间的独立性以及 $Σ$ 的对角形式，各方程的后验也是不相关的。因此，VAR 可以像 OLS 情况一样逐方程进行估计。

正如 Karlsson（2013）所指出的，先验 $β_{ij} \sim N (\underline{β}_{ij}, τ_{ij}^{2})$ 可以在一个增广回归模型的语境下被有益地理解为，

$(r _{j} y _{j}) = (R _{j} Z) β_{j} + (u ~ _{j} u _{j}),$

其中 $r_{j} = R_{j} β_{j} + \tilde{u}_{j}$ 是一组伪数据，其第 $i$ 个元素为 $\underline{β}_{ij} \overset{σ}{^}_{j} / τ_{ij}$ ，其中 $\tilde{u}_{j} \sim N (0, \overset{σ}{^}_{j}^{2})$ ，且 $R_{j}$ 的非对角元素为 0，而对角元素为 $\overset{σ}{^}_{j} / τ_{ij}$ ，对于 $i, j = 1, \dots, n p$ 。使用这种表示，后验分布为 $\overset{ˉ}{β}_{j} ∣ Y_{T} \sim N (\overset{ˉ}{β}_{j}, \overset{ˉ}{Σ}_{j})$ ，其均值和方差为，

$\overset{ˉ}{β}_{j} = (Z^{'} Z + R_{j}^{'} R_{j})^{- 1} (Z^{'} y_{j} + R_{j}^{'} r_{j}), \overset{ˉ}{Σ}_{j} = \overset{σ}{^}_{j}^{2} (Z^{'} Z + R_{j}^{'} R_{j})^{- 1} .$

实际上,这意味着我们可以对增广回归使用普通最小二乘估计来计算后验均值和方差。

练习题

以下哪一项最能描述随着维度增加，无约束VAR预测的主要问题？

A. 由于数据点更多，预测变得更准确。

B. 由于参数估计误差，预测变得不精确。

C. 预测需要估计的参数更少。

D. 由于滞后阶数减少，预测变得更稳定。

在明尼苏达先验中， $A_{1}$ 的先验是什么？

A. 零矩阵

B. 元素等于1的对角矩阵

C. 单位矩阵

D. 随机游走矩阵

在明尼苏达先验方差 - 协方差矩阵构建中，自身滞后项先验的方差是多少？

\frac{π _{1}^{2}}{l}

\frac{π _{1}^{2}}{l ^{2}}

\frac{π _{1}^{2} π _{2}}{l ^{2}}

\frac{π _{1}^{2} π _{2} σ _{i}^{2}}{σ _{j}^{2} l ^{2}}

以下关于明尼苏达先验中的超参数的陈述哪些是正确的？

π_{1}

衡量先验分布在随机游走周围的紧密程度。

π_{2}

衡量的是对交叉变量效应的先验与对自身变量效应的先验的相对紧密程度。

π_{1} = 0

表示与普通最小二乘法（OLS）估计相对应的扩散先验。

π_{2} = 0

表示教条的随机游走先验，即忽略所有数据。

明尼苏达先验的强度随预测期变化，并取决于跨变量效应，对其他变量及其滞后项施加更大的收缩。

在明尼苏达先验中，对于 $i \neq = j$ ， $A_{l}$ 的元素 $i, j$ 的先验方差为 $\frac{π _{1}^{2} π _{2}}{l ^{2}} (\frac{σ _{i}}{σ _{j}})^{2}$ 。

回归系数 $β$ 的先验均值对于 $A_{1}$ ，当 $i = j$ 时，指定为 $(A_{1})_{ij} =$ ，当 $i \neq = j$ 时，指定为 $(A_{1})_{ij} =$ 。

向量自回归模型（VAR）中其他变量滞后项先验分布的方差（ $j = 1, \dots, n, j \neq = i$ ）设为 $\frac{π _{1}^{2} π _{2} σ _{i}^{2}}{σ _{j}^{2} l ^{2}}$ ，其中 $σ_{j}$ 是第___个方程误差项的标准差。

解释 $π_{1}$ 和 $π_{2}$ 在明尼苏达先验中的作用。

明尼苏达先验如何解决无约束VAR预测中的不精确问题？

当在VAR模型中使用明尼苏达先验时，将自回归滞后项的先验方差设为 $\frac{π _{1}^{2}}{l ^{2}}$ 的主要原因是什么？

A. 确保对于所有滞后长度，先验都是弥散的

B. 随着滞后长度的增加使先验变得更紧

C. 将变量标准化为相同的尺度

D. 忽略所有数据，仅依赖先验

在具有明尼苏达先验的向量自回归（VAR）模型中， $A_{1}$ 的先验是单位矩阵，而对于 $A_{j}$ （ $j > 1$ ），其先验是矩阵系数为0。这种方法有助于减少需要估计的参数数量，尤其是在处理利率或通货膨胀等高度持续性变量时。

明尼苏达先验的强度随预测期变化，且取决于跨变量效应，对其他变量及其滞后项施加更大的收缩。这是通过将自身滞后项的先验方差设为 $\frac{π _{1}^{2}}{l ^{2}}$ ，将其他变量滞后项的方差设为 $\frac{π _{1}^{2} π _{2} σ _{i}^{2}}{( σ _{j}^{2} l ^{2} )}$ 来实现的，其中 $σ_{j}$ 是第 $j$ 个方程误差的标准差。因子 $\frac{σ _{i}}{σ _{j}}$ 确保变量标准化后具有相同的___。

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