9.2.5 因子增广向量自回归模型

9.2.5 因子增广向量自回归模型

如果预测变量的数量非常多,无约束的向量自回归(VAR)模型可能不适合用于构建预测模型,因为这将涉及估计大量的系数。一种可行的方法是将感兴趣的关键变量保留在VAR中,然后用一小组共同因子$F_t$对其进行增广,以概括来自一个可能非常庞大的条件变量集的信息。令${\tilde{y}}_t=(y_t^{\prime },F_t^{\prime }{)}^{\prime }$,由Bernanke、Boivin和Eliasz(2005)提出的因子增广向量自回归(FAVAR)模型具有如下形式:

$${\tilde{y}}_t=c+\sum _{i=1}^P{A}_i{\tilde{y}}_{t-i}+{\tilde{u}}_t$$

FAVAR模型的关键在于$F_t$的维数远小于原始条件变量集的维数。在实践中,$F_t$将从一组因子中提取。Pesaran、Pick和Timmermann(2011)建议对${\gamma }_t$和$F_t$采取非对称处理,即使用$y$的滞后值来预测$F_t$,但不反向进行。这意味着需要估计的参数更少,尽管这一约束可以放宽。有关使用因子进行预测的内容将在第10章中更详细地讨论。

9.3 贝叶斯向量自回归模型

贝叶斯方法使VAR的估计问题复杂化,体现在两个方面:首先,必须为模型指定一个先验分布;其次,除了一些非常简单的情形外,估计不再通过普通最小二乘法(OLS)进行。尽管存在这些复杂性,贝叶斯向量自回归(BVAR)方法仍然广受欢迎,原因有几点。首先,即使从经典统计学的角度来看,BVAR通常也比通过无约束OLS估计的VAR提供更好的预测。其次,BVAR能够促进预测问题的潜在经济学与估计之间的更紧密联系,例如通过先验施加经济理论。这种基于理论的信息有时可以用于改善估计。早期的贝叶斯方法不仅出于遵循经济理论的考虑做出假设,还为了应对计算上的困难。后续在计算约束较小时所开发的方法,则较少关注那些便于计算的假设。

贝叶斯预测通常可被视为缩减方法,即减少估计误差的影响。贝叶斯方法还有一个额外的优势:其副产品是构建预测结果的后验密度。因此,与某些经典方法不同,贝叶斯方法并不特别依赖于均方误差(MSE)损失函数。

在扰动项服从正态分布的假设下,VAR的似然函数是完全确定的,并且具有众所周知的具体形式。结合一组先验分布,便可以构建后验分布并得到所需的预测。这一过程的复杂程度既取决于分布假设,也取决于模型的具体形式。

我们在此对相关文献提供一个总体概述。许多资料来源给出了从贝叶斯VAR构建预测的精确方法的细节。Koop和Korobilis(2010)从估计的角度提供了一个综述。Karlsson(2013)是一本优秀且详尽的参考书,涵盖了不同模型的假设,并提供了可用于估计和生成VAR预测的算法。