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9.2.4 VAR模型的多期预测

9.2.4 向量自回归的多期预测

VAR 非常适合用于生成多期预测。对于 $VAR (1)$ 设定，

$y_{t + 1} = c + A y_{t} + u_{t + 1}, u_{t + 1} \sim (0, Σ), (9.14)$

其中 $u_{t + 1}$ 为序列无关的新息， $h$ 步向前值可写为

$y_{t + h} = (I - A^{h}) (I - A)^{- 1} c + A^{h} y_{t} + i = 1 \sum h A^{h - i} u_{t + i}, (9.15)$

因此在 MSE 损失下的预测为

$f_{t + h ∣ t} = (I - A^{h}) (I - A)^{- 1} c + A^{h} y_{t} . (9.16)$

更高阶的动态可以通过将 VAR 写成伴随形来轻松处理。例如，VAR(2) 模型

$y_{t + 1} = c + A_{1} y_{t} + A_{2} y_{t - 1} + u_{t + 1},$

可以重新写为 $\tilde{y}_{t + 1} = (y_{t + 1}^{'}, y_{t}^{'})^{'}$ 的 VAR(1)：

$\tilde{y}_{t + 1} = (y_{t + 1} y_{t}) = (A_{1} I A_{2} 0) (y_{t} y_{t - 1}) + (u_{t + 1} 0) .$

当我们关注对 $y$ 进行多期预测时，一个重要的问题是：究竟是在最高频率（即对应一期预测区间）上估计模型，然后像 (9.16) 那样将模型迭代 $h$ 步向前更好，还是直接使用定义在 $h$ 步预测误差上的损失函数更好。后者需要估计一个变量滞后 $h$ 期的 VAR，即在 VAR( $p$ ) 情形下，

$y_{t + h} = c + i = 1 \sum P A_{hi} y_{t + 1 - i} + u_{t + h} . (9.17)$

在最高可得频率的数据上使用极大似然估计通常会产生更少的抽样变异，因此在模型设定正确的情况下，比基于损失函数的方法 (9.17)（即在间隔 $h$ 期的观测上拟合 VAR）更为有效。反之，如果 VAR 设定有误，基于 (9.17) 的直接预测方法可能更为稳健，因为它只是一个线性投影模型，避免了在设定错误的模型上迭代多期所累积的影响（即 (9.16) 的情形）。

VAR 设定错误的一个特殊来源是滞后阶数的选择。Schorfheide (2005) 提出了一种模型选择准则，可用于同时选择 VAR 的滞后阶数和参数估计方法——极大似然法或基于损失函数的方法。

Pesaran、Pick 和 Timmermann (2011) 提出了 SUR（看似无关回归）估计方法和一种修正的 AIC 模型选择准则，该准则考虑了由多步直接预测结果重叠所导致的残差序列相关性。在应用于 170 个宏观经济和金融变量时，他们从经验上发现，SUR 估计和他们对 AIC 的修正都能够提高直接多步预测的预测精度。此外，他们发现因子增广 VAR 的预测倾向于优于单变量预测（价格和工资等变量除外），这表明多元（因子）信息有助于改进基准自回归预测。

例 9.2.1（股票价格的对数线性化现值模型）。 Campbell 和 Shiller (1988) 使用一阶泰勒展开，将 $t + 1$ 期的连续复利股票收益率 $r_{t + 1}$ 表示为当前及未来股票价格的对数 $p_{t}$ 、 $p_{t + 1}$ 以及未来对数股息 $d_{t + 1}$ 的近似线性函数：

$r_{t + 1} \approx k + ρ p_{t + 1} + (1 - ρ) d_{t + 1} - p_{t}, (9.18)$

其中 $ρ$ 是一个接近（但小于）1 的参数， $k$ 是一个常数。重新整理后，我们得到对数价格的递推方程：

$p_{t} = k + ρ p_{t + 1} + (1 - ρ) d_{t + 1} - r_{t + 1} .$

在横截性条件 $lim_{j \to \infty} ρ^{j} E_{t} [ρ_{t + j}] = 0$ 下向前迭代，并以当前信息为条件取期望，我们有

$p_{t} = \frac{k}{1 - ρ} + (1 - ρ) E_{t} [j = 0 \sum \infty ρ^{j} d_{t + 1 + j}] - E_{t} [j = 0 \sum \infty ρ^{j} r_{t + 1 + j}] . (9.19)$

根据该表达式，股票价格取决于未来股息和未来收益的无限加权和；预期未来股息越高、预期未来收益越低，股票价格越高。因此，现值模型的关键在于这些预期是如何形成的。VAR 非常适合回答这个问题，因为它提供了一个迭代生成多期预测的框架。

为了说明这一点，设 $z_{t + 1}$ 为状态变量向量，其中 $z_{1 t} = p_{t}$ ， $z_{2 t} = d_{t}$ ， $z_{3 t} = r_{t}$ ，并假设

$z_{t + 1} = A z_{t} + ε_{t + 1},$

从而

$E_{t} [z_{t + 1 + j}] = A^{j + 1} z_{t} .$

进一步定义选择向量 $e_{1} = (1000 \dots 0)^{'}$ ， $e_{2} = (0100 \dots 0)^{'}$ ， $e_{3} = (0010 \dots 0)^{'}$ ，使得 $p_{t} = e_{1}^{'} z_{t}$ ， $d_{t} = e_{2}^{'} z_{t}$ ， $r_{t} = e_{3}^{'} z_{t}$ 。假设 $(ρ A)^{- 1}$ 存在，由 (9.19) 可得（除常数项外）

$p_{t} = (1 - ρ) j = 0 \sum \infty ρ^{j} e_{2}^{'} A^{j + 1} z_{t} - j = 0 \sum \infty ρ^{j} e_{3}^{'} A^{j + 1} z_{t} = [(1 - ρ) e_{2}^{'} A (I - ρ A)^{- 1} - e_{3}^{'} A (I - ρ A)^{- 1}] z_{t} .$

这个例子说明了VAR模型在生成无限多个内部一致的预测序列方面是多么有用。

练习题

对于 $VAR (1)$ 模型，在均方误差（MSE）损失下，哪个公式表示 $h$ 步超前预测？

y_{t + h} = c + A y_{t + h - 1} + u_{t + h}

f_{t + h ∣ t} = (I - A^{h}) (I - A)^{- 1} c + A^{h} y_{t}

y_{t + h} = (I - A^{h}) (I - A)^{- 1} c + A^{h} y_{t} + \sum_{i = 1}^{h} A^{h - i} u_{t + i}

f_{t + h ∣ t} = c + A y_{t} + u_{t + h}

关于将VAR(2)模型重写为伴随形式，以下哪项是正确的？

A. 伴随形式减少了滞后项的数量。

B. 伴随形式将VAR(2)转换为具有更大状态向量的VAR(1)。

C. 伴随形式引入了额外的误差项。

D. 伴随形式消除了估计的需要。

在比较多期预测的两种方法时，哪种说法是正确的？

A. 迭代VAR(1)模型总是比使用直接

h

步预测更高效。

B. 使用直接

h

步预测总是比迭代VAR(1)模型更稳健。

C. 如果模型设定正确，迭代VAR(1)模型更高效，但如果模型设定错误，则可能不够稳健。

D. 使用直接

h

步预测更高效，但无论模型设定如何，稳健性都较差。

以下哪些是使用似不相关回归（SUR）估计方法进行多步预测的优势？（选择所有适用项）

A. 似不相关回归（SUR）估计考虑了残差中的序列相关性。

B. 似不相关回归（SUR）估计提高了预测准确性。

C. 似不相关回归（SUR）估计消除了模型选择的必要性。

D. 似不相关回归（SUR）估计比普通最小二乘法（OLS）估计更简单。

E. 似不相关回归（SUR）估计有助于提高直接多步预测的预测准确性。

以下关于股票价格的对数线性化现值模型的陈述中，哪些是正确的？（选择所有适用的选项）

A. 股票价格取决于预期未来股息的无限求和。

B. 股票价格不受预期未来收益率的影响。

C. 该模型使用一阶泰勒展开式。

D. 向量自回归（VAR）模型不适合在此背景下生成多期预测。

E. 该模型将股票收益率表示为当前和未来股票价格及对数股息的函数。

如果向量自回归（VAR）模型设定有误，那么基于（9.17）的直接预测方法可能比迭代VAR(1)模型更稳健。

使用最高可用频率的数据进行最大似然估计往往比使用基于损失函数的方法产生更多的抽样变异。

在VAR(1)模型中， $h$ 步超前预测值可表示为 $y_{t + h} = (I - A^{h}) (I - A)^{- 1} c + A^{h} y_{t} + \sum_{i = 1}^{h} A^{h - i} u_{t + i}$ 。在均方误差（MSE）损失下的预测不包含___项。

VAR(2)模型的伴随形式将其转换为具有状态向量 $\tilde{y}_{t + 1} = (y_{t + 1}^{'}, y_{t}^{'})^{'}$ 的VAR(1)模型。伴随形式中的误差项包括___。

解释为什么当向量自回归（VAR）模型设定错误时，基于（9.17）的直接预测方法可能更受青睐。

股票价格的对数线性化现值模型如何有助于形成对未来股票价格的预期？

关于VAR模型中滞后阶数的选择，以下哪些说法是正确的？（选择所有适用的选项）

A. 滞后阶数的选择是错误设定的一个来源。

B. Schorfheide（2005）开发了一种用于选择滞后阶数和估计方法的模型选择准则。

C. 较高的滞后阶数总是能提高预测准确性。

D. 可使用BIC和AIC等信息准则来选择滞后阶数。

E. 较高的滞后阶数会降低错误设定的风险。

关于VAR模型中似然无关回归（SUR）估计的以下陈述哪些是正确的？（选择所有适用的选项）

A. SUR估计在无约束VAR中具有渐近有效性。

B. SUR估计有助于提高直接多步预测的预测准确性。

C. 在每个回归中具有相同变量的系统中，SUR估计等同于OLS估计。

D. SUR估计消除了对BIC和AIC等模型选择准则的需求。

E. SUR估计考虑了多步直接预测残差中的序列相关性。

当使用均方误差（MSE）损失对 $V A R (1)$ 模型 $y_{t + 1} = c + A y_{t} + u_{t + 1}$ （其中 $u_{t + 1} \sim (0, Σ)$ ）进行预测时，哪个公式正确表示了2步超前预测 $f_{t + 2∣ t}$ ？

(I - A^{2}) (I - A)^{- 1} c + A^{2} y_{t}

c + A y_{t} + u_{t + 1}

(I - A) (I - A^{2})^{- 1} c + A y_{t}

A (I - A^{2}) (I - A)^{- 1} c + y_{t}

关于选择向前迭代VAR(1)模型和估计直接h步预测模型，以下哪些陈述是正确的？

A. 如果模型设定正确，向前迭代VAR(1)模型更有效率。

B. 直接h步预测模型对模型设定错误更具稳健性。

C. 直接h步预测模型总是比迭代VAR(1)模型提供更准确的预测。

D. 如果模型设定错误，向前迭代VAR(1)模型可能导致累积误差。

E. 直接h步预测模型是使用最高可用频率的数据通过最大似然法估计的。

Pesaran、Pick和Timmermann（2011）提出的似不相关回归（SUR）估计方法旨在通过考虑多步直接预测残差中的序列相关性，来提高多步直接预测的预测准确性。

在股票价格的对数线性化现值模型中，对数价格的递归方程为 $p_{t} = k + ρ p_{t + 1} + (1 - ρ) d_{t + 1} - r_{t + 1}$ 。在横截性条件下向前迭代，并在当前信息条件下取期望，股票价格 $p_{t}$ 可表示为 $p_{t} = \frac{k}{1 - ρ} + (1 - ρ) E_{t} [\sum_{j = 0}^{\infty} ρ^{j} d_{t + 1 + j}] - E_{t} [\sum_{j = 0}^{\infty} ρ^{j} r_{t + 1 + j}]$ 。该模型的关键在于___是如何形成的。

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