9.2.2 滞后阶数的选择

9.2.2 滞后阶数的选择

选择 VAR 滞后阶数的标准方法是将其视为一个模型选择问题，并使用信息准则。在 VAR 文献中常用的方法是 BIC 和 AIC。正如我们所见，在每个方程中包含相同变量的系统中，SUR 估计可以简化为逐方程的 OLS 估计。这解释了为什么常见的做法是对不同的 $\mathbf{p}$ 值进行搜索，从而在每个方程中排除相同的回归变量。这里的搜索不是遍历所有可能的模型，而是涉及与每个滞后阶数对应的一系列模型，即将 $A_P$ 的所有元素设为 0 或保持所有元素不受限制。对于包含 $n$ 个变量、$\mathbf{p}$ 阶滞后、$T$ 个观测值，并假设 VAR 的每个方程中都包含常数项的模型，BIC 和 AIC 信息准则的形式为

$$\mathrm{BIC}(p)=\ln |{\hat{\Sigma }}_p|+n(np+1)\frac{\ln (T)}{T},\text{\hspace{1em}(9.10)}$$

$$\mathrm{AIC}(p)=\ln |{\hat{\Sigma }}_p|+n(np+1)\frac{2}{T},\text{\hspace{1em}(9.11)}$$

其中 ${\hat{\Sigma }}_p=T^{-1}{\sum }_{t=1}^T{\hat{u}}_t{\hat{u}}_t^{\prime }$。在每种情况下，目标都是识别使信息准则最小化的模型（由 $p$ 索引）。在实践中，搜索有时不会在 $\mathbf{p}$ 的所有可能值上进行，而是被限制在包含一个反映数据周期性的 $\mathbf{p}$ 最小值范围内。例如，当数据为季度数据时，有时会选择最小四阶滞后。此类限制反映了被认为存在于数据中的季节性模式。此外，常见的做法是不允许滞后阶数中出现间隔，即包含直至 $p$ 阶的所有滞后，而不是例如去掉 $\mathbf{p}-1$ 阶滞后。

9.2.3 格兰杰因果检验

在一般的 VAR 中，每个变量都预测其他每个变量。然而，在包含许多变量的 VAR 中，很可能某些个别变量对于预测所有其他变量并不是特别有用。Granger (1969a) 利用一个变量的预测内容和因果关系概念，发展了一种依赖于被预测变量条件分布的因果关系定义。考虑在给定随机变量自身过去历史和一组其他随机变量过去历史条件下，随机变量 $y_{it}$ 的条件密度 $L_{{\hat{P}}_{3t}}(y_{it}|y_{1t-1},\dots ,y_{1t-p},\dots ,y_{nt-1},\dots ,y_{nt-p})$。假设该密度独立于第 $r$ 个随机变量 $y_{rt}$ 的过去历史，即

$$p_{y_{it}}\left(y_{it}|\bigcup _{j=1}^n{y}_{jt-k},k=1,\dots ,p\right)=p_{y_{it}}\left(y_{it}|\bigcup _{j\ne r}{y}_{jt-k},k=1,\dots ,p\right),\text{\hspace{1em}(9.12)}$$

因此第 $i$ 个密度不依赖于 $y_{rt-1},\dots ,y_{rt-p}$。当此条件成立时，${\mathbf{y}}_{\mathbf{rt}}$ 在变量集合 $y_{1t},\dots ,y_{nt}$ 中被称为不格兰杰导致 ${\gamma }_{it}$。如果这一陈述为真，那么 ${\mathbf{y}}_{\mathbf{rt}}$ 的过去信息对于提前一步预测 ${\gamma }_{it}$ 没有用处，无论使用何种损失函数。"在变量集合 $y_{1t},\dots ,y_{nt}$ 中"这一限定条件很重要。通过向系统中添加更多变量，格兰杰因果关系的结论完全可以被推翻——$y_{rt}$ 可能仅仅由于遗漏变量偏差而具有非零系数。

在实践中，式 (9.12) 中的条件通常并不是人们考察一个变量是否具有预测价值时所检验的内容。问题的一部分在于，检验条件密度的独立性并不直接。相反，常见的方法是检验线性可预测性的缺失，而非独立性，因此关注的弱一点的概念是，滞后项 $y_{rt-1},\dots ,y_{rt-p}$ 不进入线性 VAR 中 ${\gamma }_{it}$ 的方程。这是 VAR 中的一个排除性检验，因此实施起来很简单。考虑二元 VAR：

$$\left(\begin{array}{c}{y}_{1t}\\ y_{2t}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}(L)& a_{12}(L)\\ a_{21}(L)& a_{22}(L)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_{1t-1}\\ y_{2t-1}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{u}_{1t}\\ u_{2t}\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(9.13)}$$

该检验就是 $a_{12}(L)=0$ 对于 ${\gamma }_{1t}$ 不被 ${\gamma }_{2t}$ 格兰杰导致。这种更有限的可预测性概念实际上陈述的是，${\mathbf{y}}_{2t}$ 中的过去信息在预测 ${\gamma }_{1t}$ 的均值时没有用处，因此这一概念在均方误差损失下最为相关。

在均方误差损失下，格兰杰因果检验考察的是某个变量的所有滞后项是否可以同时从预测方程中剔除。如果某个变量的滞后项被约束为零系数，那么相同的变量将不再出现在每个方程中，因此逐方程的 OLS 估计不再具有渐近有效性。在这种情况下，可以使用完全信息极大似然估计 (FIML) 或最小距离方法来估计系数。进一步讨论参见 Hamilton (1994, 第 11 章)。