VAR的经典估计

9.2 VAR的经典估计

在确定了VAR中要包含的n个变量之后，我们必须决定使用多少阶滞后。与其对所有变量使用相同数量的滞后，不如采用一些改进方法，在某些方程中剔除部分变量。经典估计还需要确定模型的估计方法。我们首先假设已选定滞后阶数p，然后在讨论模型设定的选择之前，先考虑参数估计问题。

9.2.1 VAR(p)模型的估计

从计量经济学的角度来看，VAR是表面不相关回归（SUR），其方程之间通过残差项的协方差相互联系（Zellner, 1962）。在其无约束形式下，每个方程包含各相同回归变量的相同滞后（以及相同的外生变量），SUR估计简化为逐方程与OLS估计在数值上完全相同，因此提供了最简单的估计方法。² 反之，对于各方程回归变量不同的约束VAR，通常SUR方法将得到更有效的估计。

在足够大的样本和常规假设下，(9.3)式中系数$\beta$的中心化与标准化最小二乘估计量的分布为：

$$T^{1/2}(\hat{\beta }-{\beta }_0)\stackrel{a}{\sim }\mathrm{N}(0,\Sigma \otimes (Z^{\prime }Z{)}^{-1}),\text{\hspace{1em}(9.8)}$$

其中${\beta }_0$是真实的参数值。每个回归的标准误通过逐方程的OLS估计量计算。然而，跨方程约束的检验必须考虑残差的完整协方差矩阵。

虽然OLS估计在无约束情形下是渐近有效的，但还有许多其他估计量具有相同的一阶渐近性质。因此，仅靠渐近有效性并不能消除对其他估计量的关注。此外，OLS估计中熟悉的其他性质可能并不成立。例如，考虑从(9.3)式第i列得到的OLS估计量${\hat{\beta }}_i=(Z^{\prime }Z{)}^{-1}{Z}^{\prime }{y}_i$，其中$y_i=Z{\beta }_i+u_i$。${\hat{\beta }}_i$的偏差由下式给出：

$$\begin{array}{c}E[{\hat{\beta }}_i-{\beta }_i]=E[(Z^{\prime }Z{)}^{-1}{Z}^{\prime }{u}_i]\\ =E[E[(Z^{\prime }Z{)}^{-1}{Z}^{\prime }{u}_i|Z]].\end{array}\text{\hspace{1em}(9.9)}$$

当$E[u_i|Z]=0$时，该偏差为0，OLS估计量是无偏的。但在这里这一条件不可能成立，因为冲击$u_{is}$会影响$t>s$时的$y_{jt}$，即当前的冲击会影响回归变量未来的取值。由于$u$决定了$y$的路径，从而出现在$Z$中，一般而言$E[u_i|Z]\ne 0$，OLS估计量不是无偏的。³

从预测的角度来看，"OLS是渐近有效的"这一论断可能也并不能令人宽慰。它仅意味着在大样本中，参数的分布可以被一个方差–协方差矩阵尽可能小的正态分布很好地近似。然而，在实践中，我们手头通常没有大量的数据，而需要估计的参数却很多。在这种情况下，自由度是否足够大以保证渐近近似的合理性并不明显。如果渐近近似不合理，那么基于它的有效性计算显然没有意义。另一方面，已经提出了多种解析方法和自助法用于偏差修正；例如，可参见Bauer、Rudebusch和Wu（2012）对利率期限结构的应用。

在确定了VAR中要包含哪些变量之后，我们需要选择VAR的滞后阶数。通常采用第6章中讨论的模型选择方法，这些方法可以直接应用于此问题。除此之外，一些研究者还使用格兰杰因果检验来从某些方程中剔除个别变量。其思路是：如果没有足够证据表明某些预测变量有用，就将其从模型中剔除。