9.1 向量自回归的设定

9.1 向量自回归的设定

向量自回归将简单的单变量自回归推广到多元情形，其中 ${\gamma }_t$ 变为一个 $(n\times 1)$ 向量，从而将信息集扩展为 $Z_t=\{y_{it},y_{it-1},...{\}}_{i=1}^n$。与单变量数据类似，几乎所有关于 VAR 预测的研究都假设均方误差损失，并使用 VAR 来近似感兴趣结果变量的条件均值。VAR 的许多性质是第 7 章中单变量模型结果的简单多元推广。例如，正如自回归概括了单变量时间序列的一阶和二阶矩，我们也可以将 VAR 视为向量 ${\gamma }_t$ 一阶和二阶矩的概括。Wold 分解定理也推广到了多元情形，因此 VAR 可用于近似协方差平稳的多元过程。事实上，一些论文将 VAR 扩展以包含移动平均项，从而通过简约的表示更好地近似潜在过程。¹

对于 $(n\times 1)$ 向量 ${\gamma }_t$，$p$ 阶 VAR 采取以下形式：

$$y_t=c+\sum _{i=1}^P{A}_i{y}_{t-i}+u_t,\text{\hspace{1em}(9.1)}$$

其中 $A_i$ 是 $i=1,\dots ,p$ 时的 $(n\times n)$ 自回归系数矩阵，且 $E\left[u_t{u}_t^{\prime }\right]=\Sigma$。$(n\times 1)$ 截距向量 $c$ 可以很容易地扩展为包含一组确定性变量，如季节变量或趋势项。

模型 (9.1) 是一个方程组，每个方程中出现的回归变量相同。$u_t$（即 $u_{it}$）的创新项可以在各个方程之间相关，具有一般协方差矩阵 $\Sigma$，但滞后期长度 $P$ 通常选择得足够大，以使 $u_t$ 在 VAR 中的所有变量上都是序列无关的。

方程 (9.1) 是一种方便的简写形式，但它掩盖了检验这些模型所需的许多符号。设 $a_{1ij}$ 为捕捉 ${\gamma }_{1t}$ 的第 $j$ 阶滞后对 ${\gamma }_{it}$ 影响的系数，我们可以写成

$$y_{it}=c_i+\sum _{j=1}^P{a}_{1ij}{y}_{1t-j}+\cdot \cdot \cdot +\sum _{j=1}^P{a}_{nij}{y}_{nt-j}+u_{it},i=1,\dots ,n.\text{\hspace{1em}(9.2)}$$

这里前 $p$ 项表示 ${\gamma }_{it}$ 如何受 $y_{1t-1},\dots ,y_{1t-p}$ 的影响，最后 $p$ 项表示 ${\gamma }_{it}$ 如何受 $y_n$ 滞后期的影响。

定义 $z_t=(1,y_{t-1}^{\prime },\dots ,y_{t-p}^{\prime }{)}^{\prime }$ 和 $\beta =(c,A_1,\dots ,A_p{)}^{\prime }$，则 (9.1) 可以方便地写为关于 $(T\times n)$ 矩阵 $Y=(y_1,\dots ,y_T{)}^{\prime }$ 和 $U=(u_1,\dots ,u_T{)}^{\prime }$ 以及 $(T\times (np+1))$ 矩阵 $Z=(z_1,\dots ,z_T{)}^{\prime }$ 的堆叠方程组形式：

$$\begin{array}{r}Y=Z\beta +U,\end{array}\text{\hspace{1em}(9.3)}$$

其中 $\beta$ 是 $(np+1)\times n$ 的矩阵。

VAR 最初成为一种流行的预测工具，是因为对预测者而言，需要做出的选择相对简单。当用经典方法估计 VAR 时，构建预测只需做两个选择：包含哪些变量（即选择 $(y_1,\dots ,y_n)$），以及包含多少阶滞后（即选择 $p$）。然而，VAR 出现过参数化的风险很高，因为仅仅包含几个变量并配合几阶滞后，就需要估计大量的参数，而数据跨度通常相对较短。例如，模型 (9.1) 具有 $n(np+1)$ 个均值参数 $\beta$，再加上 $n(n+1)/2$ 个协方差参数 $\Sigma$。为了处理参数估计误差，预测者很快转向诸如格兰杰因果检验等方法，这些方法有助于去除似乎无用的回归变量，从而缩减模型的规模。通过将参数估计向某些目标值进行收缩以降低参数估计误差的贝叶斯方法也很流行。然而，向贝叶斯方法的转变使模型的构建变得更为复杂，因为它们需要在先验和估计算法上做出选择。一个庞大而精密的文献利用计算算法的改进来解决此类问题。

例 9.1.1（利率期限结构的建模）。 仿射期限结构模型广泛使用向量自回归动态来推导无套利限制下的完整利率期限结构。要了解其工作原理，设 $P_t^n$ 为某零息债券在 $t$ 时刻的价格，该债券在 $t+n$ 时期到期，因此 $n$ 为债券的期限。为了考虑风险，设 $M_{t+1}$ 为随机折现因子，或所谓的定价核，用于对 $t+1$ 时刻的名义支付进行定价。在无套利条件下，于 $t$ 时刻购买在 $t+n$ 时刻支付一美元的 $n$ 期债券的当前价格为

$$P_t^n=E_t\left[\prod _{j=1}^n{M}_{t+j}\right].\text{\hspace{1em}(9.4)}$$

为了从该方程推导定价限制，假设定价核采取以下形式：

$$M_{t+1}=\exp \left(-r_t-\frac{1}{2}{\lambda }_t^{\prime }{\lambda }_t-{\lambda }_t^{\prime }{\epsilon }_{t+1}\right),{\epsilon }_{t+1}\sim i.i.d.\mathrm{N}(0,I),\text{\hspace{1em}(9.5)}$$

其中 ${\lambda }_t={\lambda }_0+{\lambda }_1^{\prime }{X}_t$，$r_t$ 为短期利率。因此，系数 ${\lambda }_t$ 被假设为状态变量向量 $X_t$ 的仿射函数。假设短期利率 $r_t$ 也是 $X_t$ 的仿射函数，即 $r_t={\delta }_0+{\delta }_1^{\prime }{X}_t$，则整个期限结构将由状态变量向量 $X_t$ 驱动。假设这些变量服从如下 VAR(1) 过程：

$$X_{t+1}=\mu +A{X}_t+\Sigma {\epsilon }_{t+1},\text{\hspace{1em}(9.6)}$$

因此它们受到与 (9.5) 式中定价核相同的冲击。猜测如下形式的解：

$$P_t^n=\exp (a_n+b_n^{\prime }{X}_t),$$

由 (9.4)–(9.6) 式可以容易地验证，$a_n$ 和 $b_n$ 必须满足如下递推关系：

$$\begin{array}{rl}& a_{n+1}=-{\delta }_0+a_n+b_n^{\prime }(\mu -\Sigma {\lambda }_0)+\frac{1}{2}{b}_n^{\prime }\Sigma {\Sigma }^{\prime }{b}_n,\\ & b_{n+1}=(A-\Sigma {\lambda }_1{)}^{\prime }{b}_n-{\delta }_1,\end{array}\text{\hspace{1em}(9.7)}$$

其中初始条件为 $a_1=-{\delta }_0$，$b_1=-{\delta }_1$。给定 (9.6) 式中 VAR 系数 $\mu$、$A$ 的估计值以及其余参数 ${\delta }_0$、${\lambda }_0$、${\lambda }_1$、${\delta }_1$ 的估计值，我们就可以通过 (9.7) 式计算出整个零息债券价格的期限结构；有关该模型如何估计的进一步讨论，可参见 Wright (2011)。