8.4 非线性检验

8.4 非线性检验

非线性模型通常将线性模型作为特例嵌套其中，因此由于采用了更灵活的函数形式，预期能提供更好的样本内数据拟合。大多数使用非线性预测模型的应用研究都会检验非线性原假设，以此作为使用此类模型的依据，因此简要回顾此类检验是有益的。

针对嵌套线性设定的非线性备择假设检验线性模型原假设时，通常会产生非标准问题，因为大多数非线性模型在原假设（线性模型成立）下存在参数不可识别的问题。上述非线性模型可以说明这个问题。对于(8.5)式中的TAR模型，阈值$s$不可识别，因为在线性原假设下（参数在不同区制下无差异），模型对所有$s$取值都相同。(8.12)式中的STAR模型在$\gamma =0$时是线性的，此时$c$不可识别，因为对$c$的所有可能取值模型都相同。类似地，对于马尔可夫区制转换模型，如果各区制下的线性设定相同，则转移概率${\mathcal{P}}_{ij}$不可识别。

这一问题由Davies (1977)和Davies (1987)揭示，此后被统计学和计量经济学文献广泛讨论，具有三个含义。第一，似然比(LR)、沃尔德(Wald)和拉格朗日乘数(LM)检验在原假设和备择假设下通常不再渐近等价；第二，这些检验通常不再能被通常的${\chi }^2$分布很好地近似；第三，LR统计量不再必然是最优检验。

STAR模型文献中推崇的方法是围绕原假设下的模型（$\gamma =0$）进行一阶泰勒展开，并检验展开后产生的、线性模型以外的额外项是否显著。参见Teräsvirta (2006)的进一步讨论。

这种方法存在一个问题：如果检验被拒绝，并不能直接得出某个特定非线性模型是合适的结论。通常采用的检验对多种形式的非线性都具有功效，因此拒绝并不意味着非线性具有特定的参数形式，预测者也不知道上述哪些模型（如果有的话）能提供最佳预测。