8.3.3 马尔可夫区制转换模型的改进

8.3.3 马尔科夫转换模型的改进

到目前为止，我们假设转移概率是常数。然而，在某些实证应用中，这一假设可能并不合适。幸运的是，放松这一假设非常简单。一种方法是使用 probit 或 logit 形式来捕捉时变转移概率，

$$\begin{array}{l}P(S_{t+1}=k|S_t=i,z_t)=\Phi (c_{ik}+{\beta }_{ik}^{\prime }{z}_t),\\ P(s_{t+1}=k|S_t=i,z_t)=\frac{\exp (c_{ik}+{\beta }_{ik}^{\prime }{z}_t)}{1+\exp (c_{ik}+{\beta }_{ik}^{\prime }{z}_t)},\end{array}$$

其中 $z_t\in Z_t$。这种时变转移概率允许马尔科夫转换模型根据经济状态调整其持续性。如果需要进行多步预测，则还必须对 $z_t$ 的动态进行建模。关于具有时变转移的区制转换模型的工作，另见 Diebold、Lee 和 Weinbach (1994) 以及 Filardo (1994)。

第二种方法由 Durland 和 McCurdy (1994) 提出，即让状态转移概率依赖于当前状态的持续时间。定义持续时间变量，

$$D(S_t)=\{\begin{array}{ll}D(S_{t-1})+1& \mathrm{if}{S}_t=S_{t-1},\\ 1& \mathrm{if}{S}_t\ne S_{t-1}.\end{array}$$

则状态依赖的转移可以建模如下（参见 Durland 和 McCurdy (1994)）：

$$P(S_t=k|S_{t-1}=k,D(S_{t-1})=d)=\{\begin{array}{cc}\frac{\exp (c_k+{\beta }_{k}d)}{1+\exp (c_k+{\beta }_{k}d)},& d\le \tau ,\\ \frac{\exp (c_k+{\beta }_k\tau )}{1+\exp (c_k+{\beta }_k\tau )},& d>\tau .\end{array}$$

该模型可追踪持续时间直至长度 $\tau$。例如，如果该状态下 ${\beta }_k<0$，则衰退状态持续的概率可以是衰退已持续时间的递减函数。

马尔科夫转换的思想具有相当广泛的一般性，它可以应用于大多数时间序列模型的全部或部分参数。例如，可以允许在 ARMA 模型的动态形式中存在区制转换、创新的方差中存在区制转换，或在其他预测变量对结果的影响中存在区制转换。例如，Haldrup 和 Nielsen (2006) 在针对北欧国家电力价格的自回归分数整合模型中引入了参数的区制转换，其中一个特例为

$$A_{s_t}(1-L{)}^{d_{s_t}}(y_t-{\mu }_{s_t})={\sigma }_{s_t}{ϵ}_t,$$

其中 $ϵ\sim$ ind N(0, 1)，$A_{s_t}$ 是具有单位圆外根的区制依赖滞后多项式，$d_{s_t}$ 是区制依赖的分数整合参数。分数整合允许模型的自相关模式相比平稳模型衰减得更慢。

在实证研究中，马尔科夫转换模型已被广泛应用于经济学和金融学中，以建模汇率、股票收益、债券价格、GDP 增长、通货膨胀以及失业动态等变量。在应用于股票或货币收益时，通常发现区制主要通过波动率差异来识别，尽管诸如 Guidolin 和 Timmermann (2006) 以及 Guidolin 和 Timmermann (2008) 等使用多类资产和多种状态的研究发现具有足够的检验力来拒绝不同区制下均值收益相同的假设。在利率方面的应用已发现实际利率动态、通胀预期以及通胀风险溢价中存在区制的证据；参见例如 Ang、Bekaert 和 Wei (2008)。在汇率预测的背景下，Dacco 和 Satchell (1999) 讨论了为什么马尔科夫转换模型能够很好地拟合数据，但有时用于样本外预测时表现较差。Gray (1996) 和 Marcucci (2005) 分别开发了能够容纳区制内 GARCH 效应的马尔科夫转换模型，用于预测利率动态和股票市场波动率。关于区制转换模型的近期综述，参见 Ang 和 Timmermann (2012)。