8.3.2 实证例子：两状态区制转换模型

8.3.2 实证示例：两状态区制转换模型

作为实证示例，我们对之前研究的四个变量（即通货膨胀率、股票回报率、失业率和利率）拟合了两状态区制转换模型，使用了一个简单的模型，该模型具有状态依赖的截距项、一阶自回归项和波动率项：

$$y_{t+1}={\mu }_{s_{t+1}}+{\varphi }_{s_{t+1}}{y}_t+{\sigma }_{s_{t+1}}{\epsilon }_{t+1},{\epsilon }_{t+1}\sim \mathrm{N}(0,1).\text{\hspace{1em}(8.25)}$$

图 8.3 绘制了平滑状态概率，即根据完整数据样本推断出的状态。对于通货膨胀率和利率序列，识别出两个高度持续性的状态——对于后者这一变量，其中一个状态反映了 1979–1982 年期间美联储货币政策的变化。对于股票回报率，两状态模型识别出了波动率高低不同的、持续时间较短的状态。

表 8.1 报告了对四个序列拟合的马尔可夫转换模型（8.25）的全样本系数估计。对于通货膨胀率，第一个状态下的结果基本不存在序列相关性，而第二个状态下则呈现出强自相关性。两个状态都具有较高的持续性，"维持"概率分别为 0.75 和 0.96。这意味着第二个状态的预期持续时间超过 20 个季度。第一个状态具有较大的截距，而第二个状态的截距较小，这表明预测的通货膨胀率将根据初始状态的不同而产生实质性变化。通货膨胀率的不确定性在两个状态之间也有很大差异，第一个状态的波动率参数（${\sigma }_1$）是第二个状态（${\sigma }_2$）的两倍半。

表 8.1：
两状态区制转换模型参数的最大似然估计：${\sigma }_1$ 和 ${\sigma }_2$ 分别衡量状态 1 和状态 2 下的波动率参数；${\mu }_1$ 和 ${\mu }_2$ 分别衡量状态 1 和状态 2 下的截距；${\rho }_1$ 和 ${\rho }_2$ 衡量两个状态下的自回归系数。最后，$p_{11}$ 和 $p_{22}$ 分别是保持在状态 1 和状态 2 的概率。

对于股票回报率，模型识别出了一个均值较高、波动率较低的状态（状态 1）和一个均值较低、波动率较高的状态（状态 2），两个状态中均未发现序列相关的证据。这些状态的持续性仅为中等水平，因此在该序列中可以观察到许多区制转换。

为失业率序列识别的区制表明存在两个中等持续性的状态，其中一个状态（状态 1）具有较小的截距和较低的波动率，而另一个状态（状态 2）则具有较大的截距和较高的波动率。两个状态的维持概率都在 0.90 左右。

利率过程在第一个状态下呈现轻度爆炸性，在第二个状态下则具有高度持续性但平稳。同样，两个状态的维持概率都接近 0.90。如图 8.3 所示，利率的轻度爆炸性行为与 1979–1982 年期间美联储政策行动之后利率的大幅下降相关。

图 8.4 展示了由两状态马尔可夫转换模型递归生成的一步向前预测。尽管（8.25）式中的区制转换模型与简单自回归模型在函数形式上有很大不同，但对于三个具有持续性的变量（通货膨胀率、失业率和利率），其点预测与线性 AR 模型生成的预测相当相似。