8.3.1 基于区制转换模型的预测

8.3.1 区制转换模型的预测

一阶马尔可夫链的预测是直接的。沿用 Hamilton（1994）的记号，设 $(K\times 1)$ 向量 ${\xi }_t$ 为一个随机指示变量，用于追踪当前所处的区制，即

$$\begin{array}{cc}{\xi }_t=(1,0,0,\dots ,0{)}^{\prime }& \text{若 }{s}_t=1,\\ {\xi }_t=(0,1,0,\dots ,0{)}^{\prime }& \text{若 }{s}_t=2,\\ ⋮& ⋮\\ {\xi }_t=(0,0,\dots ,0,1{)}^{\prime }& \text{若 }{s}_t=K.\end{array}$$

在（8.16）式中常转移概率的假设下，${\xi }_{t+1}$ 可以写成状态空间形式的 VAR(1)：

$${\xi }_{t+1}=P{\xi }_t+v_{t+1},\text{\hspace{1em}(8.17)}$$

其中 $v_{t+1}={\xi }_{t+1}-E[{\xi }_{t+1}|{\xi }_t,{\xi }_{t-1},\dots ]$ 为鞅差分序列，即

$$E[v_{t+1}|v_t,v_{t-1},\dots ]=0.$$

对（8.17）式进行迭代，得到

$$\begin{array}{rl}& {\xi }_{t+h}=P{\xi }_{t+h-1}+v_{t+h}\\ & =P(P{\xi }_{t+h-2}+v_{t+h-1})+v_{t+h}\\ & =(P\times P){\xi }_{t+h-2}+P{v}_{t+h-1}+v_{t+h}\\ & =P^h{\xi }_t+v_{t+h}+P{v}_{t+h-1}+\cdots +P^{h-1}{v}_{t+1},\end{array}$$

$$E[{\xi }_{t+h}|{\xi }_t]=P^h{\xi }_t.\text{\hspace{1em}(8.18)}$$

此处 $P^h={\prod }_{t=1}^{h}P$ 表示 $P$ 自乘 $h$ 次。$h$ 期的转移概率由此通过将 $P$ 自乘 $h$ 次得到，因此来自区制 $i$ 的观测在 $h$ 期后来自区制 $j$ 的概率 $P(S_{t+h}=j|S_t=i)$ 由矩阵 $P^h$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素给出。

对于两区制模型（$K=2$），未来区制概率的预测具有如下简洁形式（参见 Hamilton, 1994）

$$P^h=\left[\begin{array}{cc}\frac{(1-p_{22})+(p_{11}+p_{22}-1{)}^h(1-p_{11})}{2-p_{11}-p_{22}}& \frac{(1-p_{22})-(p_{11}+p_{22}-1{)}^h(1-p_{22})}{2-p_{11}-p_{22}}\\ \frac{(1-p_{11})-(p_{11}+p_{22}-1{)}^h(1-p_{11})}{2-p_{11}-p_{22}}& \frac{(1-p_{11})+(p_{11}+p_{22}-1{)}^h(1-p_{22})}{2-p_{11}-p_{22}}\end{array}\right].\text{\hspace{1em}(8.19)}$$

由此可以看出，长期区制预测的关键在于"总体"持续性度量 $(p_{11}+p_{22}-1)$。事实上，当 $p_{11}+p_{22}>1$ 时，两区制过程是正自相关的，且 $p_{11}+p_{22}-1$ 越大，过程的持续性越强。

在实际应用中，潜在的状态是不可观测的，因此区制转换预测依赖于估计得到的状态概率。同样地，预测变为以预测状态概率为权重的各区制条件下预测的加权平均。在两区制的情况下，由（8.15）式可得

$$\begin{array}{rl}& f_{t+1|t}(z)={\mu }_1\left[{\hat{p}}_{1t}{p}_{11}+(1-{\hat{p}}_{1t})(1-{\hat{p}}_{22})\right]\\ & \\ & +{\mu }_2\left[{\hat{p}}_{1t}(1-{\hat{p}}_{11})+(1-{\hat{p}}_{1t})p_{22}\right],\end{array}\text{\hspace{1em}(8.20)}$$

其中 ${\hat{p}}_{1t}$ 是利用截至时间 $t$ 的数据估计得到的在时间 $t$ 处于区制 1 的概率，因此其本身依赖于截至时间 $t$ 的全部数据集。

状态概率的递推更新即使在参数已知的条件下也会影响预测，下面的例子将说明这一点。

例 8.3.1（状态概率的递推更新）。若模型参数 $\theta =({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }^2,p_1,p_2{)}^{\prime }$ 已知且 ${\epsilon }_t\sim \text{iid }\mathrm{N}(0,{\sigma }^2)$，则状态概率可按 Hamilton（1994, 第 692 页）所示的方式递推得到。设 $p_{t|t}\equiv (p_{1t|t},p_{2t|t}{)}^{\prime }=(\mathrm{Pr}(S_t=1|y_t,y_{t-1},\dots ),\mathrm{Pr}(S_t=2|y_t,y_{t-1},\dots ){)}^{\prime }$，而 $p_{t+1|t}\equiv (p_{1t+1|t},p_{2t+1|t}{)}^{\prime }=(\mathrm{Pr}(S_{t+1}=1|y_t,y_{t-1},\dots ),\mathrm{Pr}(S_{t+1}=2|y_t,y_{t-1},\dots ){)}^{\prime }$ 分别表示在观测历史实现值条件下当前和未来状态的概率。两者按如下方程演化

$$\begin{array}{rl}& {\dot{p}}_{t\mid t}=\frac{{\dot{p}}_{t\mid t-1}\odot \left(\begin{array}{l}\exp (-\frac{(y_t-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }^2})/\sqrt{2\pi {\sigma }^2}\\ \exp (-\frac{(y_t-{\mu }_2{)}^2}{2{\sigma }^2})/\sqrt{2\pi {\sigma }^2}\end{array}\right)}{{\dot{p}}_{1t\mid t-1}\exp (-\frac{(y_t-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }^2})/\sqrt{2\pi {\sigma }^2}+{\dot{p}}_{2t\mid t-1}\exp (-\frac{(y_t-{\mu }_2{)}^2}{2{\sigma }^2})/\sqrt{2\pi {\sigma }^2}},\\ & {\dot{p}}_{t+1\mid t}=\left(\begin{array}{ll}{\dot{p}}_1& 1-{\dot{p}}_2\\ 1-{\dot{p}}_1& {\dot{p}}_2\end{array}\right){\dot{p}}_{t\mid t}.\end{array}\text{\hspace{1em}(8.21)}$$

其中 表示 Hadamard 乘积。该递推可以使用初始值 $p_{0|0}=\pi$ 来启动。

体制转换模型的估计通常基于最大似然法或贝叶斯方法，并假设每个体制内的似然函数为高斯分布。似然函数本身相当复杂，但可以写成状态空间形式，因此可以使用类似于卡尔曼滤波的递归算法来构建概率预测序列以及对 ${\gamma }_t$ 的预测。

例 8.3.2（两状态马尔可夫转换过程的多步预测）。对于许多马尔可夫转换模型，至少在忽略参数估计不确定性的情况下，可以以封闭形式推导出多步预测。例如，Clements 和 Krolzig（1998）分析了以下具有一阶自回归动态的两状态模型：

$$\Delta y_{t+1}-{\mu }_{s_{t+1}}=\alpha (\Delta y_t-{\mu }_{s_t})+u_{t+1},u_{t+1}\sim \text{ind N}(0,{\sigma }_u^2).\text{\hspace{1em}(8.23)}$$

定义变量 ${\zeta }_t=1-\mathrm{Pr}(s_t=2),\text{if}{s}_t=2,\text{否则}{\zeta }_t=-\mathrm{Pr}(s_t=2)$，用于跟踪隐马尔可夫链的状态。给定时间 $t$ 的信息，${\zeta }_{t+h}$ 的预测具有以下形式

$${\hat{\zeta }}_{t+h|t}=(p_{11}+p_{22}-1{)}^h{\hat{\zeta }}_{t|t}.$$

Clements 和 Krolzig 用此证明了相对于其无条件均值 ${\mu }_y$ 的 $\Delta y_{t+h}$ 的预测由下式给出

$$\Delta y_{t+h}-{\mu }_y={\alpha }^h(\Delta y_t-{\mu }_y)+({\mu }_2-{\mu }_1)[(p_{11}+p_{22}-1{)}^h-{\alpha }^h]{\hat{\zeta }}_{t|t}.\text{\hspace{1em}(8.24)}$$

表达式 (8.24) 有助于理解何时马尔可夫转换过程（如 (8.23) 中的模型）的预测有望优于简单 AR 模型的预测，何时则不能。首先注意 (8.24) 中的第一项与来自常规 AR(1) 模型的第一项相同。只有第二项使马尔可夫转换预测与常规 AR(1) 预测有所不同。如果 $|{\mu }_2-{\mu }_1|$ 较小，即两个状态的均值相近，或者如果由 $p_{11}+p_{22}-1$ 度量的潜在状态的持续性与 $\alpha$ 没有很大差异，则该第二项将趋于较小。1 两种预测相似的第三个原因出现于状态未能被很好地识别，从而 ${\hat{\zeta }}_{t\mid t}$ 在时间上基本保持恒定的情况。在这种情况下，(8.24) 中的第二项可以通过一个常数来吸收。反之，要使马尔可夫转换过程产生更好的预测，${\mu }_2$ 和 ${\mu }_1$ 应差异显著，体制转换过程的持续性应与 $\alpha$ 不同，并且条件状态概率应能被滤波器很好地识别。

图 8.3：两状态马尔可夫转换模型的平滑状态概率。