8.2.1 经验证据

8.2.1 经验证据

经验证据通常并不表明这些非线性单变量模型会系统性地产生优于线性模型的预测。在 Stock 和 Watson (1999) 对美国宏观经济数据进行的预测实验中，STAR 模型总体上并未优于线性模型。Sarantis (1999) 在分析实际汇率可预测性时也得出了相同的结论，而 Kilian 和 Taylor (2003) 发现指数型 STAR 模型可以在 2–3 年的预测期上预测汇率，但在较短预测期上则不能。Teräsvirta (2006) 也得出结论：相对而言，这些模型生成比竞争方法更优的点预测的证据较弱，尽管他也认为这些模型在密度预测方面具有更大的前景，并且可作为预测组合的一部分加以利用。

图 8.1：具有两种状态的平滑阈值自回归 (STAR) 模型的递归滞后期长度选择。

这些发现的部分原因在于这些非线性模型对数据中的异常值更为敏感，因此参数估计误差是一个重要的考虑因素，尤其是在小样本中。

作为一个经验示例，使用第 7 章中关于通货膨胀、股票回报、失业和利率的季度数据，图 8.1 绘制了从 1970 年到 2010 年使用 AIC 或 BIC 方法递归选择的 STAR 模型中的项数。对于这些序列中的大多数，AIC 再次选择明显多于 BIC 的滞后期。例如，对于通货膨胀率，AIC 在大多数时候选择 12 个滞后期，尽管在样本末期下降至 8 个滞后期。而 BIC 在大部分样本期内则选择 4 或 5 个滞后期。

图 8.2 显示了由使用 AIC 或 BIC 方法选择滞后期长度的 STAR 模型递归生成的预测。这些预测与线性 AR 模型生成的预测大体相似，尽管在某些情况下这些非线性模型可能生成相当极端的预测，例如 1980 年对通货膨胀率生成了一个极大的负预测，或在八十年代初对 T 券利率生成了较大的负预测。由 AIC 选定的模型生成的股票回报预测也比第 7 章中相应的线性模型波动性明显更大，部分原因是 STAR 模型纳入了更多的项。

图 8.2：由 AIC 或 BIC 选定的平滑阈值自回归 (STAR) 模型递归生成的样本外预测。

8.3 区制转换模型

自从 Hamilton (1989) 将其引入经济学以来，马尔可夫转换或区制转换模型已成为经济学和金融学中一类流行的模型。区制转换模型与 TAR 和 STAR 模型有相似之处。与这些模型相同的是，它们引入了若干个区制，并通过一个函数来确定在特定时间点发生的是哪个区制。一个具有区制依赖均值和方差的简单区制转换过程的例子为

$$y_{t+1}={\mu }_{s_{t+1}}+{\sigma }_{s_{t+1}}{\epsilon }_{t+1},{\epsilon }_{t+1}\sim \mathrm{N}(0,1),\text{\hspace{1em}(8.15)}$$

其中 $s_{t+1}\in \{1,\dots ,K\}$ 表示当前区制。例如，对于两个区制，$y$ 在区制 1 中服从正态分布 $\mathrm{N}({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，在区制 2 中服从正态分布 $\mathrm{N}({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$。TAR 或 STAR 模型与马尔可夫转换模型之间的区别在于它们如何确定区制。

马尔可夫转换模型假设区制指示变量由一个潜在的马尔可夫过程驱动。通常假设转移概率随时间保持不变，并且区制之间的转移仅依赖于前一个区制，因此是一阶马尔可夫的：

$$p_{ij}=P(S_t=i|S_{t-1}=j).\text{\hspace{1em}(8.16)}$$

由于概率之和为 1，我们仅需要对概率的一个子集定义参数。对于具有两个区制的模型，我们可以将转移概率矩阵 $P=[p_{ij}]$ 写为

$$P=\left(\begin{array}{cc}{p}_{11}& 1-p_{22}\\ 1-p_{11}& p_{22}\end{array}\right).$$

因此，只有两个转移概率需要建模，相当于保持在同一区制内的概率。一阶齐次马尔可夫链假设转移概率不依赖于数据。例如，如果区制 1 是扩张而区制 2 是衰退，那么无论衰退已经持续了多长时间，该模型从衰退转移到扩张的概率都是恒定的。