8.2 平滑转换自回归模型

8.2 平滑转移自回归模型

平滑转移自回归（STAR）模型与阈值自回归模型类似，其关键区别在于它允许状态之间更平滑的过渡。为了理解这两个模型之间的关系，考虑双状态TAR模型：

$$\begin{array}{rl}& y_{t+1}=\left({\varphi }_{11}{y}_t+\cdot \cdot \cdot +{\varphi }_{1p}{y}_{t-p+1}+{\sigma }_1{\epsilon }_{t+1}\right)1(y_{t-d}\in S_1)\\ & +\left({\varphi }_{21}{y}_t+\cdot \cdot \cdot +{\varphi }_{2p}{y}_{t-p+1}+{\sigma }_2{\epsilon }_{t+1}\right)(1-1(y_{t-d}\in S_1)).\end{array}\text{\hspace{1em}(8.10)}$$

通过用一个在0和1之间平滑变化的函数 $F(s_t;\gamma ,c)\in (0,1)$ 替代指示函数 $1(\cdot )$，可以实现状态之间更平滑的过渡，其中 $s_t$ 依赖于数据——例如 $s_t=y_{t-d}$——而 $\gamma >0$ 和 $c$ 是影响状态间过渡的参数：

$$\begin{array}{rl}& y_{t+1}=\left({\varphi }_{11}{y}_t+\cdot \cdot \cdot +{\varphi }_{1p}{y}_{t-p+1}+{\sigma }_1{\epsilon }_{t+1}\right)F(s_t;\gamma ,c)\\ & +\left({\varphi }_{21}{y}_t+\cdot \cdot \cdot +{\varphi }_{2p}{y}_{t-p+1}+{\sigma }_2{\epsilon }_{t+1}\right)(1-F(s_t;\gamma ,c)).\end{array}\text{\hspace{1em}(8.11)}$$

主要的STAR模型是逻辑斯蒂STAR（LSTAR）模型和指数STAR（ESTAR）模型，汇总如下，其中在每种情况下，$\gamma >0$：

(8.12)

对于LSTAR模型，当 $s_t>c$ 时第一个模型的权重大于0.5，否则较小。当 $\gamma \to \infty$ 时，LSTAR模型趋近于TAR模型，而当 $\gamma \to 0$ 时趋近于线性AR模型。

ESTAR模型并不嵌套TAR模型。当 $s_t$ 接近 $c$ 时，它接近第二种状态下的TAR模型；否则接近第一种状态下的TAR模型。ESTAR模型在 $\gamma \to \infty$ 或 $\gamma \to 0$ 时收敛于线性模型。

当 $s_t$ 等于时间下标时，这些模型变为时变STAR模型，类似于在断点之间具有平滑过渡且无均值回复的永久断点模型。也可以处理多重区制。模型的综述见van Dijk、Teräsvirta和Franses（2002）以及Teräsvirta（2006）。有关专著长度的论述，参见Franses和van Dijk（2000）。

在二次损失假设下，模型参数可以通过使用目标函数的M估计获得：

$${\mathrm{SSR}}_T(z,\beta )=\frac{1}{T}\sum _{t=1}^T{\left(y_t-{\varphi }_1(L)F\left(s_t;\gamma ,c\right)-{\varphi }_2(L)(1-F\left(s_t;\gamma ,c\right))\right)}^2.\text{\hspace{1em}(8.13)}$$

这里M估计量等价于非线性最小二乘，参数为 $\beta =({\varphi }_{11},\dots ,{\varphi }_{1p},{\varphi }_{21},\dots ,{\varphi }_{2p},\gamma ,c)$。我们也可以假设误差服从正态分布并采用极大似然法。该模型是部分非线性的，非线性仅通过 $F$ 产生。对于给定的 $(\gamma ,c)$ 值，优化问题是线性的，这使得搜索问题可被简化为最多二维。

STAR模型的预测可以采用与TAR模型相同的方式计算。例如，给定一组参数估计 $\hat{\mathbf{\beta }}$，一步向前插入预测简化为：

$$\begin{array}{rl}& f_{t+1\mid t}(z)=\left({\hat{\varphi }}_{11}{y}_t+\cdot \cdot \cdot +{\hat{\varphi }}_{1p}{y}_{t-p+1}\right)F(s_t;\hat{\gamma },\hat{c})\\ & +\left({\hat{\varphi }}_{21}{y}_t+\cdot \cdot \cdot +{\hat{\varphi }}_{2p}{y}_{t-p+1}\right)(1-F(s_t;\hat{\gamma },\hat{c})).\end{array}$$

这些预测以两种状态下预测的加权平均形式计算，权重依赖于 $F\left(s_T;\hat{\gamma },\hat{c}\right)$。多步预测仍需通过考虑未来创新非线性效应的数值方法来处理。

平滑转移方法也可用于建模时间序列围绕外生变量（如确定性趋势）的局部动态。例如，González、Hubrich和Teräsvirta（2011）提出了如下形式的局部确定性趋势：

$$\mu (t)={\mu }_0+\sum _{i=1}^g{\delta }_{i}g({\gamma }_i,c_i,t/T),$$

其中 $t/T$ 是局部时间点，以总样本 $T$ 的比例度量，${\mu }_i$ 和 ${\gamma }_i>0$ 是参数，$g$ 是逻辑斯蒂转移函数，

$$g({\gamma }_i,c_i,t/T)=(1+\exp (-{\gamma }_i(t/T-c_i)){)}^{-1}.\text{\hspace{1em}(8.14)}$$

这里 $c_1<\cdots <c_q$ 是时间点（以全样本的比例表示），在这些点处，确定性分量从一个水平 ${\mu }_0+{\mu }_1+\cdot \cdot \cdot +{\mu }_{i-1}$ 过渡到下一个水平 ${\mu }_0+{\mu }_1+\cdot \cdot \cdot +{\mu }_{i-1}+{\mu }_i$，其中 $i\le q$。当 ${\gamma }_i$ 接近0时，过渡是平滑且渐进的；而 ${\gamma }_i$ 较大时则产生突然的跳跃，类似于阶梯函数。