8.1 阈值自回归模型

8.1 阈值自回归模型

考虑 $\mathrm{AR}(p)$ 模型的一个推广形式，

$$y_{t+1}={\varphi }_1{y}_t+\cdots +{\varphi }_p{y}_{t-p+1}+\sigma {\epsilon }_{t+1},{\epsilon }_{t+1}\sim (0,1),$$

其中系数（包括残差的方差）可以在 $y_{t-d}$（对于某个 $d\ge 0$）的不同取值范围内变化：

$$y_{t+1}=\{\begin{array}{ll}{\varphi }_{11}{y}_t+\cdots +{\varphi }_{1p}{y}_{t-p+1}+{\sigma }_1{\epsilon }_{t+1}& \text{如果 }{y}_{t-d}\in S_1,\\ ⋮& ⋮\\ {\varphi }_{k1}{y}_t+\cdots +{\varphi }_{kp}{y}_{t-p+1}+{\sigma }_k{\epsilon }_{t+1}& \text{如果 }{y}_{t-d}\in S_k.\end{array}\text{\hspace{1em}(8.3)}$$

这里状态 $S_i$ 覆盖了 $y_{t-d}$ 的所有可能取值，其端点称为阈值。例如，当 $k=2$ 时，我们可以有 $S_1=(-\infty ,s]$ 和 $S_2=(s,\infty )$，因此阈值为 $s$。形如 (8.3) 的模型称为阈值自回归（TAR）模型或"自激励 TAR"（SETAR）模型，因为阈值依赖于 $y_{t-d}$ 而非某个外生变量。

当阈值 $S_1,\dots ,S_k$ 和 $d$ 已知时，相对于标准线性模型的推广就是简单地将样本划分为 $k$ 个完全确定的组。然后参数估计非常直接，因为可以对每组分别应用最小二乘估计。或者，如果假设误差服从正态分布，可以使用最大似然估计，特别是当各状态之间存在参数约束时（例如对所有 $i=1,\dots ,k$ 有 ${\sigma }_i=\sigma$），最大似然估计会带来效率的提升。

如果阈值未知，这会扩大需要搜索的模型类。然而，阈值可以也经常被估计。在 $k=2$ 且 ${\beta }_1={\beta }_2$ 的模型中，Chan (1993) 证明，当 $y_t$ 是遍历且严格平稳的时，阈值 $s$ 以及各状态下的系数可以被一致地估计。此外，阈值估计量的收敛速度为 $T$。

从 TAR 模型中可以方便地计算一步向前预测。假设 $k=2$，$p=1$，$d=0$。则由 (8.3) 式可得

$$f_{t+1|t}=[({\varphi }_{11}-{\varphi }_{21})1(y_t\le s)+{\varphi }_{21}]y_t,\text{\hspace{1em}(8.4)}$$

其中 $1(y_t\le s)$ 是一个指示变量，在时刻 $t$ 是已知的，因此预测在给定 $y_t$ 的条件下是线性的。

多步预测的计算就不那么直接了，因为它们依赖于 $Y$ 未来的取值。继续我们前面的例子，两步向前预测取决于 $y_{t+1}\le s$ 是否成立：

$$y_{t+2}=\{\begin{array}{ll}{\varphi }_{11}{y}_{t+1}+{\sigma }_1{\epsilon }_{t+2}& \text{如果 }{y}_{t+1}\le s,\\ {\varphi }_{21}{y}_{t+1}+{\sigma }_2{\epsilon }_{t+2}& \text{如果 }{y}_{t+1}>s.\end{array}\text{\hspace{1em}(8.5)}$$

这意味着

$$f_{t+2|t}=E\left[\right[({\varphi }_{11}-{\varphi }_{21})1(y_{t+1}\le s)+{\varphi }_{21}\left]y_{t+1}\right|Z_t],\text{\hspace{1em}(8.6)}$$

其中 $Z_t=\{y_1,\dots ,y_t\}$。该表达式依赖于未来的新息 ${\epsilon }_{t+1}$，它同时影响指示函数 $1(y_{t+1}\le s)$ 和 $y_{t+1}$，因此 $f_{t+2|t}$ 是 $y_{t+1}$ 的非线性函数。为了计算 (8.6) 式中的期望，我们需要新息 ${\epsilon }_t$ 的分布。常用的方法包括蒙特卡洛模拟和自助法。如果 $\epsilon$ 的分布已知（至多依赖一组待估参数），则可以使用前者；而后者涉及从残差样本 $\{{\hat{\epsilon }}_1,\dots ,{\hat{\epsilon }}_t\}$ 中有放回地重新抽样。这两种方法都旨在通过某个平均值来数值地计算积分

$$\int [({\varphi }_{11}-{\varphi }_{21})1(y_{t+1}\le s)+{\varphi }_{21}]y_{t+1}P(y_{t+1}|Z_t)d{y}_{t+1}\text{\hspace{1em}(8.7)}$$

该平均值为

$$\frac{1}{B}\sum _{b=1}^B[({\varphi }_{11}-{\varphi }_{21})1(y_{t+1}^b\le s)+{\varphi }_{21}]y_{t+1}^b,\text{\hspace{1em}(8.8)}$$

其中 $y_{t+1}^b$ 是 $y_{t+1}$ 的第 $b$ 次抽样值，通过抽取一个新的新息 ${\epsilon }_{t+1}^b$ 并计算

$$y_{t+1}^b=[({\varphi }_{11}-{\varphi }_{21})1(y_t\le s)+{\varphi }_{21}]y_t+[({\sigma }_1-{\sigma }_2)1(y_t\le s)+{\sigma }_2]{\epsilon }_{t+1}^b.$$

类似地，如果有一列抽样值 $\{{\epsilon }_{t+1}^b,{\epsilon }_{t+2}^b,\dots ,{\epsilon }_{t+h-1}^b{\}}_{b=1}^B$，我们就可以从 $y_{t+h-1}^b$ 递归地生成 $y_{t+h}^b$ 的值。

$$y_{t+h}^b=[({\varphi }_{11}-{\varphi }_{21})1(y_{t+h-1}^b\le s)+{\varphi }_{21}]y_{t+h-1}^b+[({\sigma }_1-{\sigma }_2)1(y_{t+h-1}^b\le s)+{\sigma }_2]{\epsilon }_{t+h-1}^b.$$

最后，$y_{t+h}$ 的预测可计算为

$${\bar{f}}_{t+h|t}=\frac{1}{B}\sum _{b=1}^B{y}_{t+h}^b.\text{\hspace{1em}(8.9)}$$

将抽样次数 $B$ 设定为一个较大的数值，通常可以得到较好的预测近似。