单变量非线性预测模型

线性模型具有许多有用的特性，并且如第7章所述，由于其通常易于估计和分析，因而成为预测分析的自然起点。然而，除非数据服从联合高斯分布，否则很可能存在表现更优的非线性预测模型。事实上，我们有理由预期对于许多经济变量而言，线性预测模型是设定错误的。例如，经济衰退往往比经济扩张持续时间更短，而经济复苏的动态特征也可能与衰退截然不同；参见 Pesaran and Potter（1997）。已有研究发现，油价的大幅上涨对 GDP 增长的影响与同等幅度的下跌所带来的影响并不相同（Hamilton，1996）。第三个例子是资产价格（如汇率），由于投资者风险偏好下降时期套息交易的平仓，崩盘与复苏的动态特征可能截然不同（例如，Brunnermeier、Nagel 和 Pedersen（2008））。进一步的讨论和示例亦可参见 Clements、Franses 和 Swanson（2004）。

如果经济（或科学）理论未能就预测模型的函数形式提供指导，我们可以将预测问题以最一般化的形式提出，

$$f^{\ast }(z)=\arg \underset{f(\cdot )\in \mathcal{F}}{\min }{E}_Y\left[L(f(Z),Y)\right],\text{\hspace{1em}(8.1)}$$

其中 $\mathcal{F}$ 是条件变量 $Z$ 的所有可能函数的集合。面对如此一般的模型，采用非参数估计方法自然是合理的。非参数预测模型将在第11章中更深入地讨论。

在实践中，我们通常将 $\mathcal{F}$ 限定为所有可能模型的一个子集。线性模型将模型限定为 $Z$ 的线性函数加上一个可加误差项。非线性模型可采用如下形式：

$$y_{t+1}=f(z_t)+{\epsilon }_{t+1},\text{\hspace{1em}(8.2)}$$

其中线性可加项捕捉不可预测的成分，而 $f(z_t)$ 可被限定为一组模型 $\mathcal{F},$，该模型集合被限制为所有可能模型 ${\mathcal{F}}^R$ 的一个参数化子集。将 $Z$ 限定为 $Y$ 的过去值，则可考虑如下形式的模型：$y_{t+1}=f(y_t)+{\epsilon }_{t+1}$。接下来我们将考察此类模型，并指出不同的方法对 ${\mathcal{F}}^R$ 作出了不同的假设。我们的重点是参数化模型，即 ${\mathcal{F}}^R$ 被限定为一组除一组参数外完全已知的非线性模型。

已有大量文献致力于通过允许对线性的参数化偏离来改进 ARMA 模型。所采用的模型通常具有启发式而非理论上的依据——例如，数据可能存在两个或两个以上的区制而非单一区制，这便导致了切换回归模型或平滑转移模型。再如，当数据发生变化时，序列当前值与过去值之间的线性关系可能不再成立，由此产生了阈值自回归模型。这些模型在精确函数形式的选择上有所不同，但都包含线性模型作为其特例。虽然非线性最小二乘法可用于估计模型参数，但非线性效应的检验结果却难以解释。

这些模型的一个局限在于，它们对未知的非线性形式提供了一种缺乏灵活性的近似。这应与捕捉非线性的更一般方法（例如级数展开）形成对照，后者能够提供更为灵活的近似。这些方法将在第11章中讨论。

我们首先回顾一些已广泛应用于预测问题的较为流行的模型，包括阈值自回归模型（8.1节）、平滑转移自回归模型（8.2节）和区制转换模型（8.3节），随后在8.4节简要讨论非线性检验，并在8.5节介绍使用非线性模型进行预测的一般程序。8.6节为本章小结。