7.5.4 与ARMA模型的等价性

7.5.4 与ARMA模型的等价性

指数平滑模型已被证明等价于一个受限制的ARMA模型类（Abraham and Ledolter, 1983）。假设数据已经过差分以获得协方差平稳过程。那么根据Wold表示定理，我们知道存在该数据的线性MA模型。由于指数平滑规则也是线性的，因此有理由预期这两种表示之间存在关联。

一个例子是(7.47)式中的未观测成分模型。考虑$Y_t$的变化，即，

$$\begin{array}{c}\Delta Y_t\equiv (1-L)Y_t=(1-L){\mu }_t+(1-L){\epsilon }_t\\ \\ =v_t+{\epsilon }_t-{\epsilon }_{t-1}.\end{array}$$

为了找到等价的MA表示，考虑$\Delta Y_t$的自相关函数：

$$\gamma (0)=E[\Delta Y_t{]}^2=E[(v_t+{\epsilon }_t-{\epsilon }_{t-1}{)}^2]={\sigma }_v^2+2{\sigma }_{\epsilon }^2,$$

$$\begin{array}{r}\gamma (1)=E\left[\Delta Y_t\Delta Y_{t-1}\right]=E\left[(v_t+{\epsilon }_t-{\epsilon }_{t-1})(v_{t-1}+{\epsilon }_t-{\epsilon }_{t-1})\right]=-{\sigma }_s^2,\end{array}$$

$$\gamma (k)=0\mathrm{for}k\ge 2.$$

接下来考虑$Y_t$的ARIMA(0,1,1)模型

$$(1-L)y_t={\eta }_t+\theta {\eta }_{t-1}\equiv {\eta }_t-\tilde{\theta }{\eta }_{t-1},$$

其中$\tilde{\theta }=-\theta$。$\Delta Y_t$的方差和协方差由下式给出：

$$\begin{array}{rl}& \gamma (0)={\sigma }_{\eta }^2(1+{\theta }^2),\\ & \\ & \gamma (1)=-\tilde{\theta }{\sigma }_{\eta }^2,\\ & \gamma (k)=0\mathrm{for}k\ge 2.\end{array}$$

因此，如果 ${\sigma }_{\eta }^2(1+{\tilde{\theta }}^2)=({\sigma }_v^2+2{\sigma }_{\epsilon }^2)$ 且 ${\sigma }_{\eta }^2\tilde{\theta }={\sigma }_{\epsilon }^2$，则这两种表示将是相同的。13 为了看清这一点，将(7.52)式中的ARIMA(0,1,1)模型写为无限AR递推形式：

$${\eta }_t=\sum _{j=0}^{\infty }{\tilde{\theta }}^j(y_{t-j}-y_{t-j-1})$$

$$=y_t-(1-\tilde{\theta })\sum _{j=1}^{\infty }{\tilde{\theta }}^{j-1}{y}_{t-j}.$$

重新整理后，我们可以将预测表示为过去值的无限和：

$$f_{t+1|t}=(1-\tilde{\theta })\sum _{j=1}^{\infty }{\tilde{\theta }}^{j-1}{y}_{t+1-j}.$$

注意我们可以写成

$$f_{t+1|t}=(1-\tilde{\theta })[y_t+\tilde{\theta }{y}_{t-1}+{\tilde{\theta }}^2{y}_{t-2}+\cdot \cdot \cdot ],$$

$$\tilde{\theta }{f}_{t|t-1}=(1-\tilde{\theta })[\tilde{\theta }{y}_{t-1}+{\tilde{\theta }}^2{y}_{t-2}+\cdot \cdot \cdot ],$$

由此可得

$$f_{t+1|t}-\tilde{\theta }{f}_{t|t-1}=(1-\tilde{\theta })y_t,$$

或者重新整理后，

$$f_{t+1|t}=f_{t|t-1}+(1-\tilde{\theta })(y_t-f_{t|t-1}),$$

这与指数平滑模型相同，其中 $\delta =\tilde{\theta }$。因此，平滑参数 $\delta$ 的选择直接与MA系数 $\tilde{\theta }$ 相关，这提示了一种估计平滑系数的方法。

7.5.5 指数平滑器的扩展

上述ARIMA、未观测成分和指数平滑方法在建模均值 $y_t={\mu }_t+{\epsilon }_t$ 中的时变方面并试图在给定时间t的信息下预测 ${\mu }_{t+1}$ 这一意义上是等价的。这等价于在未观测成分模型中对均值进行参数化。或者，我们可以构建一个更复杂的预测模型。假设这样一个模型为

$$y_t={\mu }_t+{\beta }_t^{\prime }{x}_t+{\epsilon }_t,\text{\hspace{1em}(7.53)}$$

其中 $x_t$ 为已知的 $p$ 维预测变量向量，${\beta }_t$ 为 $p$ 维时变系数向量。该设定推广了前面的方法。大多数滤波方法将 $x_t$ 设为某个非随机过程。例子包括

a. 双重指数平滑模型，$x_t=t$；

b. 三重指数平滑模型，$x_t=(t,t^2/2{)}^{\prime }$；

c. 三角函数模型，$x_t=(\sin (2\pi t/S),\cos (2\pi t/S){)}^{\prime }$，其中S为一个周期内的观测数（季度数据时 $S=4$，月度数据时 $S=12$，等等）。

在每种情况下，可以使用折扣最小二乘法获得 ${\mu }_t$ 和 ${\beta }_t$ 的估计值，从而生成预测 $f_{t+1|t}={\mu }_{t+1|t}+{\beta }_{t+1|t}(t+1)$。对系数使用折扣因子 $\delta$ 的更新方程为

$${\mu }_{t+1|t}=(1-{\delta }^2)\sum _{j=0}^t{\delta }^j{y}_{t-j}-(1-\delta {)}^2\sum _{j=0}^t{\delta }^{j}j{y}_{t-j},$$

$${\beta }_{t+1|t}=(1-\delta {)}^2\sum _{j=0}^t{\delta }^j{y}_{t-j}-{\delta }^{-1}(1-\delta {)}^3\sum _{j=0}^t{\delta }^{j}j{y}_{t-j},\text{\hspace{1em}(7.54)}$$

参见例如 Abraham and Ledolter (1983)。

7.6 结论

单变量ARIMA模型长期以来一直是应用预测中的主力工具。ARIMA模型通常最适合用于具有明确界定且稳定持续性成分的时间序列，例如失业率或通货膨胀率。然而，对于股票收益率等序列，这些模型的表现则不太理想，因为其条件均值中存在显著持续性成分的证据要弱得多。

只要合理选择滞后阶数，ARMA预测在许多包含持续性成分的宏观经济变量上往往难以在实证中被超越。指数平滑法和不可观测成分模型等替代方法已被提出，并被广泛用于建模和预测具有强季节性成分的时间序列，例如公司销售额或公司股息。

ARIMA模型的成功很大程度上归功于其使用的简便性；这些模型易于估计，对预测者所使用的信息集要求极低。我们将在接下来的两章中讨论这些模型的主要局限性——即线性模型的限制以及单变量信息集（被预测变量的过去历史）的使用。