7.5.3 不可观测成分

7.5.3 未观测成分

未观测成分模型由两个方程组成，

$$\begin{array}{l}{y}_t={\xi }_t+{\epsilon }_t,\\ {\xi }_t={\xi }_{t-1}+v_t,\end{array}\text{\hspace{1em}(7.47)}$$

其中过程由 ${\xi }_0$ 初始化。其思想是观测过程 $y_t$ 是我们感兴趣的过程 ${\xi }_t$ 的含噪声版本。从这个意义上说，未观测序列 $\{{\xi }_t\}$ 可以被视为数据 ${\gamma }_t$ 的平滑版本。

从预测的角度，我们感兴趣的是在给定观测数据 $\{{\mathbf{y}}_t{\}}_{t=1}^T$ 的条件下预测 ${\xi }_{T+1}$。通常假设创新项是序列不相关的，且

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\epsilon }_t}{v_t}\right)\sim \mathrm{N}\left[\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\sigma }^2}{0}\right){\tau }^2\right),$$

其中创新项之间缺乏同期相关性是为了识别而施加的约束。(7.48) 式中的正态性假设使得写出用于模型估计的似然函数变得容易。

通常对 (7.47)–(7.48) 中模型的估计采用卡尔曼滤波（Kalman, 1960）。附录解释了卡尔曼滤波的方程及其运算。卡尔曼滤波最初是为工程应用提出的，此后在许多情境中得到了广泛应用。对于正态分布变量，它可用于写出似然函数，或更一般地，写出伪似然函数。许多模型都可以改写为该方法所需的状态空间形式，但该方法对于估计具有非平凡 MA 成分的 ARMA 模型尤为方便。

未观测成分模型是状态空间形式的（滤波方程见附录）。定义 ${\xi }_{t\mid t-1}$ 和 ${\xi }_{t\mid t}$ 分别为给定 $t-1$ 时刻和 $t$ 时刻信息时对 ${\xi }_t$ 的最优预测；相应地定义 ${\gamma }_{t\mid t-1}$ 和 ${\gamma }_{t\mid t}$，并令 $P_{t|t-1}=E[({\xi }_t-{\xi }_{t|t-1})({\xi }_t-{\xi }_{t|t-1}{)}^{\prime }],G_{t|t-1}=E[(y_t-y_{t|t-1})(y_t-y_{t|t-1}{)}^{\prime }]$ 为均方误差矩阵。那么我们可以将未观测均值 ${\xi }_t$ 的更新方程写为

$$\begin{array}{rl}& {\xi }_{t\mid t}={\xi }_{t\mid t-1}+P_{t\mid t-1}{G}_{t\mid t-1}^{-1}(y_t-y_{t\mid t-1})\\ & ={\xi }_{t-1\mid t-1}+P_{t\mid t-1}{G}_{t\mid t-1}^{-1}(y_t-{\xi }_{t-1\mid t-1}).\end{array}$$

如果 $P_{t|t-1}{G}_{t|t-1}^{-1}=1-\delta$，则该式同样简化为 (7.44) 式。此外，对于未观测成分模型，我们有

$$P_{t|t-1}{G}_{t|t-1}^{-1}=\frac{P_{t-1|t-1}+{\tau }^2}{P_{t-1|t-1}+{\tau }^2+{\sigma }^2}.$$

在方差不随时间变化、且将 $P_{t-1|t-1}$ 设为 0 的滤波情形下，这恰好就是 $\delta ={\sigma }^2/({\tau }^2+{\sigma }^2)$。这为我们选择（或估计）折扣参数 $\delta$ 提供了另一个视角。当均值的变动相对于观测数据的变动较小（即 ${\tau }^2$ 相对于 ${\sigma }^2$ 较小）时，$\delta$ 会较大，此时将更多权重放在估计均值仍然相关的"旧"数据上是最优的。当未观测均值的创新变动相对于 ${\sigma }^2$ 较大时，$\delta$ 将更接近于 0。