7.5.1 指数加权移动平均

7.5.1 指数加权移动平均

指数加权移动平均（EWMA）模型使用在数据的整个历史过程中指数递减的权重来计算 $y_t$ 的移动平均。预测值，或称"趋势"，为

$$f_{t+1|t}=\frac{(1-\delta )}{(1-{\delta }^t)}\sum _{s=0}^{t-1}{\delta }^s{y}_{t-s}.\text{\hspace{1em}(7.45)}$$

我们可以将其推导为加权平均形式，$f_{t+1|t}=c_t{\sum }_{s=0}^{t-1}{\delta }^s{y}_{t-s}$，其中比例因子 $c_t$ 的选取是为了确保权重之和为 1（Abraham and Ledolter, 1983）。预测值序列 $\{f_{t+1|t}\}$ 为 $\{y_1,(1+\delta {)}^{-1}(y_2+\delta y_1),(1+\delta +{\delta }^2{)}^{-1}(y_3+\delta y_2+{\delta }^2{y}_1),\dots \},\dots$

式 (7.45) 中的 EWMA 模型与简单平滑方法 (7.44) 存在联系，因为在 $t\to \infty$ 的极限情况下两者是等价的。${}^{11}$ 为说明这一点，注意

$$\begin{array}{r}{f}_{t+1|t}-\delta f_{t|t-1}=\frac{(1-\delta )}{(1-{\delta }^t)}{\sum }_{s=0}^{t-1}{\delta }^s{y}_{t-s}-\frac{(1-\delta )}{(1-{\delta }^{t-1})}\delta {\sum }_{s=0}^{t-2}{\delta }^s{y}_{t-1-s}\\ =\frac{(1-\delta )}{(1-{\delta }^t)}{y}_t+\left(\frac{(1-\delta )}{(1-{\delta }^t)}-\frac{(1-\delta )}{(1-{\delta }^{t-1})}\right){\sum }_{s=1}^{t-1}{\delta }^s{y}_{t-s}.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.46)}$$

由于 $0<\delta <1$，${\lim }_{j\to \infty }{\delta }^j=0$，因此近似地有

$$f_{t+1|t}-\delta f_{t|t-1}=(1-\delta )y_t,$$

这与式 (7.44) 相同。

图 7.6 展示了由三个不同平滑因子（$\delta =0.5,0.8$ 和 $0.999$）的 EWMA 模型生成的季度通胀率和季度股票收益的预测值。$\delta$ 越大，预测越平滑，因为权重更均匀地分布在过去的观测值上。事实上，将这些预测与随机游走预测（$f_{t+1|t}=y_t$）以及图右窗口中所示的总体均值（$f_{t+1|t}=t^{-1}{\sum }_{\tau =1}^t{y}_{\tau }$）进行比较，可以清楚地看到，$\delta$ 越小，EWMA 预测越来越接近随机游走预测；而 $\delta$ 越接近 1，EWMA 预测则越来越类似于总体均值预测。${}^{12}$ 鉴于 $\delta$ 对预测的重要性，人们可以使用交叉验证等方法来最优地选择该参数，即在给定损失函数下产生最小的平均损失。我们将在第 8 章的实证应用中讨论这一点。

7.5.2 折扣最小二乘

Brown (1962) 考虑了如下折扣最小二乘损失函数，

$$L(y_1,\dots ,y_t,\mu )=\sum _{s=0}^{t-1}{\delta }^s(y_{t-s}-\mu {)}^2,$$

将其作为序列均值的估计量。关于 $\mu$ 的一阶条件，在时刻 $t$ 计算，为

$$\sum _{s=0}^{t-1}{\delta }^s(y_{t-s}-\hat{\mu })=0,$$

可重新整理为

$$\begin{array}{l}\hat{\mu }={\left({\sum }_{s=0}^{t-1}{\delta }^s\right)}^{-1}{\sum }_{s=0}^{t-1}{\delta }^s{y}_{t-s}\\ =\frac{(1-\delta )}{(1-{\delta }^t)}{\sum }_{s=0}^{t-1}{\delta }^s{y}_{t-s}.\end{array}$$

这与式 (7.45) 中的 EWMA 模型相同。

因此，均值的折扣最小二乘路径（可用作预测值）与 EWMA 的路径相同，从而近似地与简单更新公式 (7.44) 相同。