7.4.2 确定性时间趋势

7.4.2 确定性时间趋势

有时会使用确定性趋势分量来预测变量的水平。例如，线性、二次和指数趋势的形式为

$$\begin{array}{rlc}& {\mu }_t={\mu }_0+{\beta }_{0}t,& \\ & & \\ & {\mu }_t={\mu }_0+{\beta }_{0}t+{\beta }_1{t}^2,& \\ & & \\ & & {\mu }_t=\exp ({\mu }_0+{\beta }_{0}t).\end{array}\text{\hspace{1em}(7.39)}$$

这些是全局趋势，因此不太可能在较长的预测范围内对大多数时间序列的未来值提供准确的描述。即使某个变量的过去值可以被这些趋势模型之一很好地近似，但通常会发现，当该变量达到饱和点或其他动态在未来某个时刻开始占主导地位时，其动态会发生变化。

7.4.3 Holt–Winters 方法

Holt–Winters 方法通常用于预测可能同时包含确定性趋势和季节分量的时间序列。该方法的加法版本将结果变量建模为局部均值、季节因子和误差项之和。乘法版本将结果分解为局部均值与季节分量的乘积，再加上一个误差项。在这两种情况下，时间 $t$ 处的局部均值都由时间 $t-1$ 处的局部均值加上一个局部趋势更新而来。

遵循 Chatfield (1978) 的记法，设 $m_t$ 为时间 $t$ 处去季节化局部均值的估计，${\mathrm{seas}}_t$ 为时间 $t$ 处季节分量的估计，${\mathrm{trend}}_t$ 为第 $t$ 期估计的趋势项（即去季节化均值从 $t-1$ 到 $t$ 预计的变化量）。这里 $S$ 再次表示季节频率，即季度数据为 4，月度数据为 12，等等。给定第 $t-1$ 期的估计值 $m_{t-1}$、${\mathrm{seas}}_{t-1}$、${\mathrm{trend}}_{t-1}$，乘法 Holt–Winters 方法的更新方程形式为

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}& m_t=\alpha \frac{y_t}{{\mathrm{seas}}_{t-S}}+(1-\alpha )(m_{t-1}+{\mathrm{trend}}_{t-1}),\\ & \\ & {\mathrm{seas}}_t=\beta \frac{y_t}{m_t}+(1-\beta ){\mathrm{seas}}_{t-S},\\ & \\ & {\mathrm{trend}}_t=\gamma (m_t-m_{t-1})+(1-\gamma ){\mathrm{trend}}_{t-1}.\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(7.40)}$$

其中 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 是一组平滑系数，可以估计或预先设定。该模型的多步预测可由 (7.40) 生成（对于 $h=1,2,\dots$）：

$$f_{t+h\mid t}=(m_t+h\times {\mathrm{trend}}_t){\mathrm{seas}}_{t+h-S}.\text{\hspace{1em}(7.41)}$$

加法 Holt–Winters 模型保持趋势方程不变，但将前两个方程修改为

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}& m_t=\alpha (y_t-{\mathrm{seas}}_{t-S})+(1-\alpha )(m_{t-1}+{\mathrm{trend}}_{t-1}),\\ & \\ & {\mathrm{seas}}_t=\beta (y_t-m_t)+(1-\beta ){\mathrm{seas}}_{t-S},\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(7.42)}$$

预测生成为

$$f_{t+h\mid t}=m_t+h\times {\mathrm{trend}}_t+{\mathrm{seas}}_{t+h-S}.\text{\hspace{1em}(7.43)}$$

该方法的效果当然取决于所假设的趋势和季节性形式与数据的吻合程度，以及平滑参数 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 的估计质量。更多讨论参见 Chatfield (1978)。

7.5 指数平滑与不可观测分量

指数平滑方法提供了一种替代 ARMA 模型的途径，用于仅利用变量自身过去值来预测该变量。这些方法本质上是基于每个新观测值的到来以及相应的预测误差来更新预测的自动规则。最简单且最常见的此类更新规则是

$$f_{t+1|t}=f_{t|t-1}+(1-\delta )(y_t-f_{t|t-1}),\text{\hspace{1em}(7.44)}$$

其中 $0<\delta <1$ 为常数，过程在 $f_0$ 处初始化。这里，之前的预测 $f_{t\mid t-1}$ 用上一期预测误差 $e_{t|t-1}=y_t-f_{t|t-1}$ 的一部分 $(1-\delta )$ 进行更新。关于使用指数平滑进行预测的详尽讨论，可参阅 Hyndman 等 (2008)。