7.4.1 含季节性成分的预测模型

7.4.1 含季节成分的预测模型

季节模式可以建模为确定性或随机性变化，或两者的某种组合。随机建模方法使用差分来纳入季节成分。其直观理由是：如果一个变量在季节频率上变动剧烈，建模其动态的一种方法是考察该变量的同比变化。例如，企业盈利或股息通常会与上年同季度的数据进行比较。

Box 和 Jenkins (1970) 提出了如下形式的季节 ARIMA（或 SARIMA）模型：

$$\varphi (L)(1-L^S)y_t=\theta (L){\epsilon }_t.\text{\hspace{1em}(7.32)}$$

其中 $S$ 表示季节频率。对于季度数据，$S=4$；对于月度数据，$S=12$；对于周度数据，$S=52$；依此类推，因此应用季节差分算子 $(1-L^S)$ 意味着式 (7.32) 中对同比变化的动态进行建模。除此之外，预测计算的方法不变。

季节模型的另一种写法是将线性时间指标 $t=1,\dots ,T$ 转换为季节指标，例如在季度情形下为 2000:01、2000:02、……、2000:04、2001:01 等：

$$\varphi (L)(1-L^S){\gamma }_{S\tau +s}=\theta (L){\epsilon }_{S\tau +s}.\text{\hspace{1em}(7.33)}$$

其中 $\tau =0,\dots ,T-1$ 计数年份，而 $s=1,\dots ,s$ 计数季节，$t=S\tau +s$。例如，若 $S=4$（对应季度数据）且 $s=1$，则当 $\tau$ 从 $0,1,2,\dots ,T-1$ 变化时，选取的是第一季度观测值 $y_1,y_5,y_9,\dots ,y_{(T-1)S+1}$。

式 (7.32) 中的模型存在单位根，但只要 $\varphi (L)$ 的根位于单位圆之外且 $\theta (L)$ 的系数平方和有界，同比变化将是平稳的。自回归多项式 $\varphi (L)$ 可能还包含额外的单位根，尽管这通常只在强趋势序列中通过经验发现。例如，Box 和 Jenkins (1970) 所谓的航空模型具有如下形式：

$$(1-L)(1-L^S)y_t=(1-{\theta }_{1}L)(1-{\theta }_S{L}^S){\epsilon }_t.\text{\hspace{1em}(7.34)}$$

该模型在 AR 和 MA 两部分都允许季节变化。

确定性的季节成分可以很容易地纳入：假设从 $y_{S\tau +s}$ 中移除一个确定性的季节成分 ${\mu }_{S\tau +s}$ 之后，剩余的随机成分 ${\tilde{y}}_{S\tau +s}=y_{S\tau +s}-{\mu }_{S\tau +s}$ 服从一个 ARMA 过程：

$$\begin{array}{rl}{y}_t& ={\mu }_t+{\tilde{y}}_t,\\ \varphi (L){\tilde{y}}_t& =\theta (L){\epsilon }_t,\end{array}\text{\hspace{1em}(7.35)}$$

其中 ${\epsilon }_t\sim \mathrm{WN}(0,{\sigma }^2)$。对均值中季节变化 ${\mu }_t$ 进行建模的最简单方法是引入 $S$ 个季节虚拟变量，每个变量在季节 $s$ 时取 1，否则取 0：

$$D_{1t}=\{\begin{array}{ll}1& \text{若在时刻 }t\text{ 时 }s=1,\\ 0& \text{其他情况}.\end{array}$$

例如，对于季度数据，将有如下四个季节虚拟变量（假设起始点出现在第一季度）：

$$\begin{array}{rl}{D}_{1t}& =(10000100010001000),\\ D_{2t}& =(010001001000100),\\ D_{3t}& =(001000100010010),\\ D_{4t}& =(00001000010001).\end{array}$$

含季节虚拟变量的 ARMA 模型具有如下形式：

$$\varphi (L)\left(y_t-\sum _{s=1}^S{\delta }_s{D}_{st}\right)=\theta (L){\epsilon }_t.\text{\hspace{1em}(7.36)}$$

应用此类季节虚拟变量有时能带来预测精度的显著提升。

季节模式是与日历相关的有规律出现的模式的例子。这些模式会在经济变量的均值或波动率中引发规律性变化，例如日内股票交易量（交易量往往在开盘和收盘的前后几分钟达到最高）、信用卡交易、道路拥堵和能源使用等。

例 7.4.1（季节成分的建模）。在对电力需求进行建模时，周内日虚拟变量、年内月份虚拟变量以及节假日虚拟变量往往非常重要。沿用 Diebold (2007) 的做法，这提示了一个如下形式的确定性成分：

$${\mu }_t=\sum _{\mathrm{day}=1}^7{\beta }_{\mathrm{day}}{D}_{\mathrm{day},t}+\sum _{\mathrm{holiday}=1}^H{\beta }_{\mathrm{holiday}}{D}_{\mathrm{holiday},t}+\sum _{\mathrm{month}=1}^{12}{\beta }_{\mathrm{month}}{D}_{\mathrm{month},t},\text{\hspace{1em}(7.37)}$$

其中 $H$ 是节假日的数量。假日虚拟变量可以包括一个圣诞节虚拟变量，在 12 月 25 日取值为 1，其他时候取值为 0；一个感恩节虚拟变量，在感恩节取值为 1，其他时候取值为 0，依此类推。这类虚拟变量可用于捕捉某一天典型（平均）的电力消耗。除了假日虚拟变量外，我们还纳入了日虚拟变量和月虚拟变量，因为在圣诞节或感恩节等公共假日，电力消耗通常会有很大不同。也可以纳入形如 $\begin{array}{r}{\sum }_{\mathrm{day}=1}^7{\beta }_{\mathrm{day},\mathrm{holiday}}{D}_{\mathrm{day},t}{D}_{\mathrm{holiday},t}\end{array}$ 的交互项，以解释发生在不同工作日的假日所对应的电力消耗模式的差异。从 ARMA 模型中减去确定性季节项后，$t+h$ 时刻的未来需求可以使用如下形式的模型进行预测：

$$\varphi (L)(y_{t+h}-{\mu }_{t+h})=\theta (L){\epsilon }_{t+h},\text{\hspace{1em}(7.38)}$$

使得去季节化成分 $y_{t+h}-{\mu }_{t+h}$ 服从一个 ARMA 过程。假设我们拥有 $\{{\beta }_{\mathrm{day}},{\beta }_{\mathrm{holiday}},{\beta }_{\mathrm{month}}{\}}_{\mathrm{\Omega }}$ 的估计值，则可以方便地计算出 $y_{t+h}$ 确定性成分的估计值。然后可以将该估计值加到在 $t$ 时刻可用信息下对 ${\tilde{y}}_{t+h}$ 进行的 ARMA 预测上。关于含季节成分预测模型的进一步讨论，请参见 Diebold (2007) 以及 Ghysels、Osborn 和 Rodrigues (2006)。