单位根变量的预测

7.3.4 具有单位根的预测变量

本章主要讨论平稳的 ARMA 过程，但我们简要说明当自回归多项式 $\varphi (L)$ 的并非所有根都落在单位圆之外时应该如何处理。最常见的情况是一个或多个根等于单位圆上的值，而其余根落在单位圆之外。假设对某个整数 $d$，$\varphi (L)$ 有 $d$ 个根位于单位圆上，而其余根位于单位圆之外，并考虑因式分解 $\varphi (L)=\tilde{\varphi }(L)(1-L{)}^d$。按这种方式分解多项式，$\varphi (L)y_t=\theta (L){\epsilon }_t$ 可以写成 $\tilde{\varphi }(L){\tilde{y}}_t=\theta (L){\epsilon }_t$，其中 ${\tilde{y}}_t=(1-L{)}^d{y}_t$ 称为 $y_t$ 的第 $d$ 阶差分。根据假设，$\tilde{\varphi }(L)$ 的根位于单位圆之外，所以差分后的过程 ${\tilde{y}}_t$ 是平稳的，可以替代 $y_t$ 进行研究。这被称为将 $y_t$ 差分至平稳，是一种常用的方法。$d\ne 0$ 时需要对过程进行差分才能实现平稳，这样的过程称为 ARIMA$(p,d,q)$ 过程，其中 "I" 代表"单整"（integrated），即差分的逆过程。确定 $d$ 以及处理当根从接近 1 变为等于 1 时模型性质的离散性方面存在许多实际困难。这些问题将在第 20 章中更一般性地讨论。

通过适当次数的差分将变量变换为平稳序列的常见做法对于估计和模型选择都非常重要。差分变量的预测可以根据需要转换回水平值，并可与水平值下的实际结果进行比较。我们简要说明其工作原理。

假设我们有兴趣预测 $y$ 未来的水平值，记为 $y_{t+h}$，但 $y$ 可能是一阶或二阶单整的，分别记为 I(1) 或 I(2)，使得当 $y$ 是 I(1) 时 $\Delta y_t$ 平稳，而当 $y$ 是 I(2) 时 ${\Delta }^{2}y$ 平稳。当 $y$ 是 I(1) 时，我们对一阶差分序列建模，并预测 $\Delta y_{t+h}=y_{t+h}-y_{t+h-1}$。我们将此预测记为 $\Delta f_{t+h|t}$。当 $y$ 是 I(2) 时，我们对二阶差分序列建模，并预测 ${\Delta }^2{y}_{t+h}=(y_{t+h}-y_{t+h-1})-(y_{t+h-1}-y_{t+h-2})=y_{t+h}-2y_{t+h-1}+y_{t+h-2}$。我们将此预测记为 ${\Delta }^2{f}_{t+h|t}$。

$y_{t+h}$ 水平的预测可以根据 $y_{t+h}$、$\Delta y_{t+h}$ 和 ${\Delta }^2{y}_{t+h}$ 的预测按如下方式构造：

$$f_{t+h|t}=\{\begin{array}{ll}{f}_{t+h|t}& \text{如果 }{y}_t\text{ 是 I(0)，}\\ y_t+{\sum }_{i=1}^h\Delta f_{t+i|t}& \text{如果 }{y}_t\text{ 是 I(1)，}\\ y_t+h\Delta y_t+{\sum }_{i=1}^h{\sum }_{j=1}^i{\Delta }^2{f}_{t+j|t}& \text{如果 }{y}_t\text{ 是 I(2)。}\end{array}$$

7.4 确定性和季节性成分

许多经济时间序列具有季节性模式。例如，零售销售额、就业人数和住房开工量与天气模式和节假日相关，因为工人可能因恶劣天气而被暂时解雇，或因零售和服务业的旺季而被雇佣。通常的做法是过滤掉季节性成分，并以季节调整后的形式报告经济活动数据。然而，原始的、未经过滤的数据可能有独立的兴趣，在这种情况下，良好的预测模型必须考虑季节性变化。