7.3.3 直接多期预测与迭代多期预测

7.3.3 直接多期预测与迭代多期预测

在许多情况下，多期预测（$h>1$）可能是有意义的，因此存在一个问题：究竟应该采用迭代预测方法还是直接预测方法。在迭代方法下，预测模型的估计频率高于预测所需的步长，并通过迭代得到多步预测。例如，可以使用月度数据来估计一个模型，用于提供季度预测。在直接方法下，预测模型与所需的预测步长相匹配。因此，因变量对应于第 $t+h$ 期，而所有预测变量都对应于第 $t$ 期。

通常的做法是直接代入单期模型的参数估计值，并使用链式规则（如 (7.25)）向前迭代到所需的预测步长。对于 AR(1) 模型，这意味着使用估计值 ${\hat{\varphi }}_1$ 来得到预测 $f_{t+1|t}={\hat{\varphi }}_1{y}_t$，$f_{t+2|t}={\hat{\varphi }}_1^2{y}_t$，或者更一般地，$f_{t+h|t}={\hat{\varphi }}_1^h{y}_t$。

另一种方法是使用递归代入模型，通过将 $y$ 对滞后 $h$ 期或更长时间的信息进行投影来直接估计参数。回到 AR(1) 例子，通过递归代入，

$$y_{t+h}={\varphi }_1^h{y}_t+\sum _{s=0}^{h-1}{\varphi }_1^s{\epsilon }_{t+h-s}.$$

直接预测方法需要将 $y_t$ 对 $y_{t-h}$ 进行回归，以获得 ${\varphi }_1^h$ 的估计值，然后可以用于构造预测。请注意，如果使用重叠数据并且模型被拟合到每个数据点，那么即使底层的新息 ${\epsilon }_t$ 是序列无关的，误差项也将遵循 MA($h-1$) 过程。这可以潜在地被利用以获得估计效率的提升。另一方面，如果使用非重叠数据，即每 $h$ 期对数据进行采样，那么只要 ${\epsilon }_t$ 是序列无关的，该回归中的误差就是序列无关的。更一般地，对于 AR($p$) 回归模型，

$$y_t=\sum _{s=1}^p{\varphi }_s{y}_{t-s}+{\epsilon }_t,$$

我们有

$$y_{t+h}={\varphi }_h(L)y_t+{\theta }_h(L){\epsilon }_{t+h}=\sum _{s=1}^p{\varphi }_s^h{y}_t+\sum _{s=0}^{h-1}{\theta }_s{\epsilon }_{t+h-s},\text{\hspace{1em}(7.31)}$$

其中 ${\varphi }_s^h(L)$ 和 ${\theta }_s$ 是原始 AR($p$) 系数 ${\varphi }_s$ 的非线性函数。方程 (7.31) 表明可以通过将 $y_t$ 对 $\{y_{t-h},y_{t-h-1},\dots ,y_{t-h-p+1}\}$ 进行回归，以直接获得一个预测模型。

大量理论和实证文献比较了迭代和直接预测方法的预测准确性。理论分析表明存在一个基本的权衡。当自回归模型被正确设定时，迭代方法能够更有效地利用数据，因此倾向于产生良好的预测。相反，由于直接方法是一个线性投影，因此对于模型误设定更为稳健。哪种方法表现最佳取决于真实的数据生成过程和模型误设定的程度（这两者都是未知的），以及反映样本量的参数估计误差的大小。当模型没有严重误设定时，对参数进行迭代以获得多步预测通常会带来良好的预测。然而，当模型被误设定时，对误设定模型的迭代可能会加剧偏差，并可能导致更大的 MSE，尽管在 Bhansali (2002) 的蒙特卡洛研究中，这种影响似乎较小。Marcellino、Stock 和 Watson (2006) 提供的实证证据表明，迭代方法在一系列变量中通常表现最好，并且在更长的预测步长下有所改善，尽管结果可能取决于如何选择 AR 多项式的滞后阶数。