7.2.2 滞后期阶数的选择

7.2.2 滞后阶数的选择

到目前为止，我们一直假设滞后阶数 $p$ 和 $q$ 是已知的。在一些金融预测问题中，诉诸市场有效性可能会引导人们选择零滞后或低阶移动平均过程，以反映市场微观结构对证券价格动态的影响。对于季度数据，人们可能希望至少有四个滞后以考虑季节性成分。然而，在大多数情况下，预测者除了根据平稳性条件得到的"过去较远的冲击对当前值的影响小于较近冲击的宽泛认识外，对这些参数并没有太多了解。鉴于相对样本量估计大量参数很可能会导致估计不精确，这表明应使用包含较少滞后的简约 ARMA 模型。

可以采用不同的方法来经验性地确定 $p$ 和 $q$ 的值，或者如果考虑非连续滞后的话，确定应包含哪些具体滞后。Box 和 Jenkins（1970）最初提出了一种基于考察数据自相关和偏自相关函数的判断性方法。然而，现在更常用的是针对一般设定的自动滞后选择方法。

一种广泛使用的方法是采用第6章讨论的模型选择准则。每种准则定义了一族方法，这些方法在拟合优度（随纳入更多滞后而改善）与惩罚项（随使用参数数量增加而增大）之间有其特有的权衡。改变 ARMA 阶数 $(p,q)$ 的选择会产生不同的模型，我们可以将这一模型集合定义为 $\{M_k{\}}_{k=1}^K$，其中 $M_k$ 表示模型 $k$，搜索在 $p$ 和 $q$ 的 $K$ 种不同组合上进行。定义模型 $k$ 残差的平方标准差为 ${\hat{\sigma }}_k^2=T^{-1}{\sum }_{\tau =1}^T{\hat{\epsilon }}_{\tau }^2$。对于线性 ARMA 设定，信息准则的形式为

$${\mathrm{IC}}_k=\ln {\hat{\sigma }}_k^2+n_{k}g(T).\text{\hspace{1em}(7.16)}$$

其中 $n_k$ 统计模型 $k$ 的估计参数数量，因此若无常数项则 $n_k=p_k+q_k$，若包含常数项则 $n_k=p_k+q_k+1$。$g(T)$ 是作为样本量 $T$ 函数的惩罚项。目标在于选择使 (7.16) 最小化的模型。如第6.3节所讨论，回归软件包中常规报告的流行信息准则使用以下惩罚项：

由于惩罚项不同但拟合度量 ${\hat{\sigma }}_k^2$ 在各方法中相同，不同信息准则往往倾向于选择不同的模型。例如，只要 $\ln (T)>2$（这在样本量大于7个观测值时始终成立），BIC 的惩罚项就大于 AIC。因此 BIC 倾向于选择比 AIC 参数更少的更简约模型。

图7.4展示了前文介绍的四个序列的自回归模型滞后阶数选择情况。为选择滞后阶数，我们使用一个从1970年开始到2014年结束的扩展估计窗口。为简便起见，我们仅比较 AIC 和 BIC 选择的滞后阶数。最多考虑12个滞后，并且假设为连续滞后，即不能包含滞后 $k$ 而不同时包含滞后 $1,\dots ,k-1$。对于通货膨胀率序列，AIC 大多数时候选择12个滞后，而 BIC 至少在1980年之后大多数时候选择3个滞后。对于持续性较弱的股票收益率序列，BIC 选择零滞后，而 AIC 选择1或2个滞后。AIC 和 BIC 滞后长度选择的差异在失业率序列上更为显著，AIC 最初选择2-3个滞后，而在80年代中期之后选择10个滞后。相比之下，BIC 大多数时候仅选择2个滞后。最后，对于利率序列，滞后长度的选择在最初十年相当不稳定，但 AIC 选择的滞后数多于 BIC，两种准则最终在样本末期分别稳定在12（AIC）和8（BIC）个滞后。

滞后长度选择的这些差异对预测表现有多重要？为了回答这个问题，我们在图7.5中绘制了由 AIC 和 BIC 选择的模型的预测值。虽然两种预测之间存在一些微小差异，但序列明显非常相似，相关系数从股票收益率两种预测之间的0.27到通货膨胀率的0.95以及失业率和利率预测的0.99不等。

之所以尽管模型设定差异很大，预测值之间的差异却如此之小，原因在于许多序列具有高度的持续性。对于这类变量，相邻的滞后项 $y_{t-j}$ 与 $y_{t-j-1}$ 几乎是完全可以相互替代的。本文所考察的变量中，股票收益率是唯一一个不具备这一特征的例子；而恰恰在股票收益率上，由 AIC 与 BIC 各自选定的模型所生成的预测之间，我们观察到了最大的差异。