7.2 ARMA模型的估计与滞后阶数选择

7.2 ARMA模型的估计与滞后阶数选择

上一节讨论的预测方法假定ARMA模型及其参数是已知的。在实际应用中，这些参数需要从数据中进行估计。为了构造预测，我们需要：(i) ARMA(p,q)模型的阶数；(ii) 参数 ${\varphi }_1,\dots ,{\varphi }_p,{\theta }_1,\dots ,{\theta }_q$ 的估计值；以及 (iii) 当 $q\ge 1$ 时，过去冲击 ${\epsilon }_t,\dots ,{\epsilon }_{t-q}$ 的估计值。本节讨论如何获得参数估计、选择滞后多项式的阶数 $p,q$，以及为ARMA(p,q)模型获取当前和滞后创新的滤波估计。

7.2.1 ARMA模型的状态空间表示

ARMA模型可以使用状态空间技术进行估计。将预测模型写成其状态空间表示具有许多优点。首先，如果模型具有移动平均分量，状态空间形式和卡尔曼滤波通常提供了一种简便的估计策略，即许多标准计算机软件包中采用的方法。其次，状态空间表示为构建多步预测的模型提供了方便的表示形式。

模型的状态空间表示由两个方程组成，称为状态方程和测量方程。状态方程以"状态" ${\xi }_t$ 的（通常是多元的）一阶自回归形式写成：

$${\xi }_t=F{\xi }_{t-1}+v_t.\text{\hspace{1em}(7.14)}$$

类似地，测量方程的典型形式为：

$$y_t=H{\xi }_t+w_t,\text{\hspace{1em}(7.15)}$$

其中误差项 $(v_t,w_t{)}^{\prime }$ 是白噪声且互不相关：

$$E\left[\left(\begin{array}{c}{v}_t\\ w_t\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{v}_t^{\prime }& w_t^{\prime }\end{array}\right)\right]=\left(\begin{array}{cc}Q& 0\\ 0& R\end{array}\right).$$

这里 $y_t$ 表示观测值，而状态 ${\xi }_t$ 可能被观测到，也可能未被观测到。模型的参数 $F,H,Q,R$ 可以随时间变化。通常 $Q$ 或 $R$ 之一为零，这不会带来任何困难。

作为ARMA模型如何写成状态空间形式的例子，考虑ARMA(1,1)模型：

$$y_t=\rho y_{t-1}+{\epsilon }_t+\theta {\epsilon }_{t-1}.$$

该模型可以写成状态空间形式：

$$\left(\begin{array}{c}{\xi }_{1t}\\ {\xi }_{2t}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\rho & 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\xi }_{1t-1}\\ {\xi }_{2t-1}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ \theta \end{array}\right){\epsilon }_t,$$

$$y_t={\xi }_{1t},$$

这产生了ARMA(1,1)模型，因为 ${\xi }_{2t}=\theta {\epsilon }_t$ 且 $y_t={\xi }_{1t}=\rho {\xi }_{1t-1}+{\epsilon }_t+{\xi }_{2t-1}=\rho {\xi }_{1t-1}+{\epsilon }_t+\theta {\epsilon }_{t-1}$。书末的附录包含更多示例。

当涉及移动平均项时（$q>0$），代入式预测需要MA参数的估计值以及潜在冲击 $\{{\epsilon }_t\}$ 的估计值。最常用的方法是在误差服从正态分布的假设下使用极大似然估计。Hamilton（1994年，第3章和第5章）对似然函数的精确公式及其最大化方法提供了出色的综述。通常使用卡尔曼滤波来构造似然函数。卡尔曼滤波递推还可以从状态变量的更新和预测方程分别提供冲击的估计和预测值。附录展示了如何使用状态空间形式构建极大似然估计并估计参数。

利用一阶递归结构，状态空间表示对于预测多个时期非常有用。由于 ${\xi }_t=F{\xi }_{t-1}+v_t$，因此 $E[{\xi }_{t+h}|{\xi }_t]=F^h{\xi }_t$。此外，由(7.15)式，我们有 $E[y_{t+h}|{\xi }_t]=HE[{\xi }_{t+h}|{\xi }_t]=H{F}^h{\xi }_t$。与使用原始模型相比，这通常是计算预测的一种更为简便的方法。