单变量线性预测模型

在为某个经济变量构建预测模型时，该变量自身的过去时间序列往往是首先想到的东西。仅使用这一个预测变量便衍生出一类出人意料地成功的时序模型规范，被称为自回归移动平均（ARMA）模型。这些模型可追溯到 Box 和 Jenkins (1970) 的开创性工作，已然成为预测领域的得力工具，且关于 ARMA 模型估计与预测的文献十分丰富。事实上，ARMA 模型构成了许多商业预测的骨干，至今仍是众多应用预测课程的核心内容。

ARMA 模型的流行与成功可由若干现象来解释。首先也是最重要的，这些模型对预测者的信息集提出了极为简约的要求。这些模型所需的唯一信息就是所关注变量本身的历史数据，$Z_t=\{Y_1,Y_2,...,Y_{t-1},Y_t\}$。即便预测者对 $Y$ 完全没有一个成型的模型，因而不知道应当获取哪些其他变量的数据，也可以利用这些信息构造出 ARMA 预测。例如，一个库存管理者通常会拥有过往库存的信息，但可能缺乏相关的信息，更不用说一个完整规范的模型，来解释为何产品需求会出现波动。即便存在一个销售模型，收集估计模型参数所需数据的成本也可能过于高昂。

其次，由于信息需求极少，ARMA 预测非常适合作为一个"基准"，用以与更复杂方法所得的预测进行比较。通过排除其他变量，ARMA 预测揭示了时间序列的过去对其未来的预测能力。进而可以通过这些更复杂预测方法或额外预测变量的引入，相对于最优 ARMA 模型所对应的损失，所减少的平均损失程度，来衡量其所带来的增量价值。

再次，ARMA 模型的使用有理论依据作为支撑。具体而言，Wold 分解定理表明，所有协方差平稳过程都可以表示为一个（可能是无穷阶的）移动平均表示。ARMA 模型构成了此类过程的完备集合，并且在将一个变量对其自身过去及过去冲击进行线性投影时具有某些最优性质。这一结论并不意味着 ARMA 模型在全局意义上是最优的。例如，在预测模型中使用序列过去值的非线性变换，或者基于更宽泛的信息集进行条件化，可能效果更好。然而，如果将注意力局限于序列过去值的线性函数，那么从 ARMA 预测模型入手便是自然而然的选择。

第四，尽管（或者正因如此）结构简单，ARMA 模型在实证研究中却出人意料地难以被超越。只要 ARMA 模型的滞后阶数得到合理确定，它们极少产生极端预测，并且通过低阶自回归或移动平均成分，能够很好地捕捉经济变量中的持续性。

本章所涵盖内容的完整阐述可在多本教科书中找到，包括偏重技术层面的 Brockwell and Davis (1996) 以及更易入门的 Diebold (2007)。本章的目的是对预测领域这一经典工作分支作一简要综述，从而为后续章节的内容——尤其是第 8 章关于单变量非线性预测模型和第 9 章关于向量自回归的多变量预测——奠定基础。

本章的安排如下。第 7.1 节简要回顾 ARMA 模型的基本性质。第 7.2 节讨论这些模型的参数估计与滞后长度选择。第 7.3 节介绍 ARMA 模型的预测方案。第 7.4 节涵盖对确定性成分和季节性成分的扩展。第 7.5 节引入指数平滑与不可观测成分模型，第 7.6 节给出总结。

7.1 作为近似的 ARMA 模型

我们首先介绍理解预测模型所需的时序分析中的一些基本概念。随后，介绍基本的自回归（AR）模型和移动平均（MA）模型。