预测性能的经济度量

6.7.2 预测表现的经济度量

我们一直强调统计预测表现度量与经济预测表现度量之间可能存在差异。为了在当前背景下评估这一问题，我们考虑具有均值-方差偏好的投资者的资产配置决策

$$E\left[U(y_{t+1})|Z_t\right]=E\left[y_{t+1}|Z_t\right]-\frac{a}{2}\mathrm{Var}(y_{t+1}|Z_t),\text{\hspace{1em}(6.35)}$$

其中 $E\left[y_{t+1}|Z_t\right]$ 是投资组合的预期收益率，$\mathrm{Var}(y_{t+1}|Z_t)$ 是投资组合收益率的条件方差，$\alpha =5$ 反映投资者的风险厌恶程度。投资者在支付三个月期国库券利率的无风险资产与风险股票市场组合之间进行选择。该投资者的投资组合收益率由 $y_{t+1}=y_{ft+1}+{\omega }_t{y}_{st+1}$ 给出，其中 $y_{ft+1}$ 是无风险利率，$y_{st+1}$ 是股票的超额收益率（扣除国库券利率后），${\omega }_t$ 是根据 $t$ 时刻可获得的信息 $Z_t=\{y_{\tau },x_{\tau }{\}}_{\tau =1}^t$ 选择的股票权重。为了避免破产风险，我们将 $f_t$ 限制在 0 到 1 之间，从而排除卖空和杠杆操作。投资组合权重由下式确定：${\omega }_t(Z_t)=\max (\min ({\hat{\beta }}_t^{\prime }{x}_t/a{\hat{\sigma }}_{\epsilon t}^2,1),0)$，其中 ${\hat{\beta }}_t$ 是从线性收益回归模型中递归估计得到的 OLS 估计量，${\hat{\sigma }}_{\epsilon t}^2$ 是该回归残差方差的递归估计量。

表 6.3 显示了由此得到的投资组合的均值收益和波动率（标准差），以及年化的确定性等价收益率（CER）和夏普比率。CER 定义为：在评估样本期内，能够使投资者在以下两种策略之间无差异的年化无风险收益率——一种是假设常数均值收益的现行均值模型所建议的基准策略，另一种是基于时变预测变量的备选策略。

表 6.3：
基于美国股票市场季度收益率的样本外预测的投资组合表现，预测方法列于各行。投资组合表现是针对一位风险厌恶的均值-方差投资者报告的，该投资者根据股票的超额收益预测在股票和国库券之间进行选择。均值收益和标准差衡量所得到的投资组合收益率的均值和波动率，而 CER 是确定性等价收益率，夏普比率即为夏普比率。所有指标均经过年化处理。

夏普比率是投资组合超出国库券利率的均值收益除以投资组合收益率的标准差，两者均根据评估样本估计。

结果表明，预测收益率波动最大的方法并不一定对应于波动更大的投资组合策略。事实上，波动最大的投资组合收益率来自于大部分时间为正的超额收益预测，即具有最小惩罚因子的 Bagging 和 Lasso 方法、AIC 以及现行均值。然而，这些方法并未产生最高的确定性等价收益率。BIC、向后逐步方法以及两种 Lasso 方法产生的 CER 值高于 1%，并且夏普比率也略高于现行均值模型对应的夏普比率。

图 6.4 绘制了递归估计的股票配置比例。这是预测者在该设定中的选择变量。值为 1 表示将所有资金配置于股票，值为 0 表示仅持有国库券。投资组合权重波动很大，并且经常触及我们分析中所施加的 0–1 边界。这源于我们假设无交易成本的前提，如果假设对投资组合权重的大幅调整存在成本，则结果将有所不同。100% 全额投资于股票的上界约束比零配置于股票的下界约束更经常被触及。这反映了股票风险溢价的存在——即股票收益率的历史均值高于国库券收益率，其在样本期内的均值为正，因此需要有相对较强的证据才能说服投资者不将任何资金配置于股票。

图6.5（左）展示了在本文所考虑的九种不同模型选择方法下，RMSE与命中率（即超额收益符号正确预测的比例）之间的散点图。两者之间存在负相关关系，表明符号正确预测比例最高的模型往往产生最小的RMSE值。

图6.5（右）显示了统计性的预测绩效度量（如RMSE）与经济性度量（如CER）之间可能存在的脱节。

有趣的是，RMSE值最高的方法往往产生最高的CER值。例如，由BIC和向后逐步回归方法所选出的模型都产生较高的RMSE值，但同时其平均CER估计值也达到每年1%或更高。

这些发现表明，从统计角度看表现较差的预测方法，仍然可能产生从经济角度看具有价值的预测。原因是较大的预测误差在线性统计损失函数（如MSE）下会受到更严重的惩罚，而经济损失函数可能对较大预测误差赋予较小的权重。

图6.6展示了从1970年投资1美元开始，然后利用递归生成的预测在股票市场组合与三个月期国库券之间进行最优配置的累计财富情况。我们展示了未对条件股权风险溢价建模任何时变性的主流均值策略的结果。该策略到2013年最终得到35美元。表现最佳的策略是使用较大惩罚项（c2）的Lasso方法，其在2013年末的累计财富超过50美元。鉴于累计值周围存在较大的标准误，对此类图表的解读应持谨慎态度。尽管如此，这些图表确实说明了预测绩效的经济性度量和统计性度量可以产生截然不同的结果。

图6.4：基于递归生成的预测，使用不同方法选择预测模型时，均值-方差投资者对股票的配置。纵轴上1表示100%配置于股票，0表示100%配置于国库券。

图6.5：超额股票收益符号正确预测百分比与均方根误差（RMSE）的关系（左），以及均值-方差投资者的确定性等价回报（CER）与RMSE的关系（右）。