5.4.1 贝叶斯投资者的资产配置

5.4.1 贝叶斯投资者的资产配置

为说明简单预测模型中的贝叶斯决策方法，我们使用 Kandel 和 Stambaugh (1996) 给出的单期投资决策示例。考虑一位投资者，在时刻 $t$ 可以将其财富的某一比例 $\omega$ 投资于支付连续复利收益率 $y_{t+1}$ 的股票，或者持有为简便起见假设收益为零的无风险国库券。为简便起见，假设投资者在时刻 $t$ 的初始财富为 $W_t=1$。则时刻 $t+1$ 的未来财富 $W_{t+1}$ 由下式给出：

$$W_{t+1}=1+\omega \left[\exp (y_{t+1})-1\right].$$

假设投资者对未来财富具有对数效用，

$$U(W_{t+1})=\ln (W_{t+1}),$$

并以当前信息 $Z_t=\{z_1,\dots ,z_t\}$ 为条件最大化期望效用：

$$\underset{0<\omega <1}{\max }\int U(W_{t+1})p_Y(y_{t+1}|Z_t)d{y}_{t+1}.$$

因此，为了选择资产持有量，投资者需要 $y_{t+1}$ 的条件密度 $p_Y(y_{t+1}|Z_t)$。该密度被认为在除一组未知参数 $\theta$ 之外是已知的。

$y_{t+1}$ 的预测密度可以通过将收益率分布对 $\theta$ 的条件密度 $p(\theta |Z_t)$ 进行积分得到：

$$p(y_{t+1}|Z_t)={\int }_{\theta }{p}_Y(y_{t+1}|\theta ,Z_t)p(\theta |Z_t)d\theta ,$$

其中，根据贝叶斯定理，$Z_t$ 条件下 $\theta$ 的后验密度为 $p(\theta |Z_t)\propto p(\theta )p(Z_t|\theta )$，$p(\theta )$ 是 $\theta$ 的先验，$p(Z_t|\theta )$ 是给定参数下数据的概率密度函数。

作为示例，考虑股票收益率取两个可能值的二元情形：$y_{t+1}=+20\%$ 或 $y_{t+1}=-20\%$。假设信息由一系列独立同分布的二项状态变量 $s_t$ 组成，该变量取 $s_t=1$（状态 1）或 $s_t=2$（状态 2）：$Z_t=\left\{s_t,\{s_{i-1},r_i{\}}_{i=1}^t\right\}$。该模型通过下一期出现高收益状态的概率进行参数化，条件是时刻 $t$ 观测到状态 $i$，即 $\theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2\}$，其中 ${\theta }_i=P(y_{t+1}=20|s_t=i)$。

遵循 Kandel 和 Stambaugh (1996)，假设投资者先验联合分布为 ${\theta }_1$ 和 ${\theta }_2$ 两个独立分布的乘积，每个分布由下式给出：

$$\hat{p}({\theta }_i)=\frac{[{\theta }_i(1-{\theta }_i){]}^{c-1}}{B(c,c)},i=1,2,\text{\hspace{1em}(5.13)}$$

其中 $c\ge 1$，$B(\cdot )$ 是贝塔函数。因此，先验仅依赖于单一参数 $c$。

假设投资者观测到以下样本信息，以 $(2\times 2)$ 列联表呈现：

$$\begin{array}{rcc}& \text{状态 1 }(t-1)& \text{状态 2 }(t-1)\\ y_t=20\%& 8& \\ y_t=-20\%& 5& \end{array}$$

如果经济在所观测样本中的 $T_i$ 个月内处于状态 $i$，则在这些月份中有 $n_i$ 个月实现高收益状态的概率具有二项似然函数：

$$p(n_i|{\theta }_i,T_i)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{T_i}{n_i}){\theta }_i^{n_i}(1-{\theta }_i{)}^{T_i-n_i},i=1,2.\text{\hspace{1em}(5.14)}$$

将 (5.14) 式中的似然函数与 (5.13) 式中的先验结合，${\theta }_i$ 的后验分布可证明服从贝塔分布：

$$\begin{array}{rl}p({\theta }_i|Z_t)& =p({\theta }_i|n_i,T_i)\\ & =\frac{{\theta }_i^{n_i+c-1}(1-{\theta }_i{)}^{T_i-n_i+c-1}}{B((n_i+c),(T_i-n_i+c))},i=1,2.\end{array}$$

设 $\hat{p}$ 为 $Z_t$ 条件下观测到高收益状态的概率。Kandel 和 Stambaugh (1996) 表明，由贝塔分布的性质可得，

$$\hat{p}=\frac{n_j+c}{T_j+2c}.$$

此外，期望股票收益率可由下式计算：

$${\hat{y}}_{t+1}=E[y_{t+1}|Z_t]=0.2\hat{p}-0.2(1-\hat{p}).$$

因此，投资者的约束优化问题变为

$$\underset{0<\omega <1}{\max }\left(\hat{p}\ln (1+0.2\omega )+(1-\hat{p})\ln (1-0.2\omega )\right).$$

其解为

$${\omega }^{\ast }=\{\begin{array}{ll}0& \text{如果 }(2\hat{p}-1)<0,\\ (2\hat{p}-1)/0.2& \text{如果 }0<2\hat{p}-1<0.2,\\ 1& \text{如果 }(2\hat{p}-1)\ge \mathrm{0.2.}\end{array}$$

假设在时刻 $T$ 观测到信号 $s_t=2$。由于 $n_2=8$，$T_2=16$，则 $\hat{p}=0.5$，与先验中 $c$ 取何值无关。在这种情况下，股票的条件风险溢价为零，因此风险厌恶型投资者选择不持有任何股票。

接下来，假设 $s_t=1$。利用 $n_1=11$，$T_1=16$，$\hat{p}=(11+c)/(16+2c)$，我们得到以下结果。

C	$\hat{\mathbf{p}}$	${\hat{y}}_{t+1}$	${\omega }^{\ast }$
1	0.67	0.067	1.00
10	0.58	0.033	0.83
20	0.55	0.021	0.54

尽管从统计角度来看，无法拒绝在接收到信号 $s_t=1$ 时所含信息较少的假设（在原假设 ${\theta }_1=0.5$ 下，在 $T_1=24$ 次抽取中抽到 $n_1\ge 11$ 个"上涨"状态的概率超过 10%），贝叶斯投资者仍然会根据观测到的信号相当显著地改变其资产配置决策。在上述例子中，股票的资产配置比例从 54% 到 100% 不等，具体取决于投资者先验信念的强度。