4.2 代入估计量

4.2 插件估计量

插件方法在经典预测中很常用。对 $\theta$ 或 $\beta$ 的任何估计都需要使用某种形式的目标函数，该函数可能与预测问题的损失函数相关，也可能无关。在这里，我们将插件估计量分为三组——使用正确的损失函数来构建参数估计的那些；使用不同损失函数来估计参数的那些；以及使用正确的损失函数但施加限制的那些。首先，我们给出一个插件估计量的简单应用。

4.2.1 基于预测者损失函数的插件估计量

给定一个损失函数和数据 $(Z,Y)$ 的假设联合密度，我们有时可以构建一个预测模型 $f(z,\beta )$，它捕捉预测密度的相关特征。例如，如果数据的联合密度是正态的，则在线性模型下可能会产生 MSE 损失。然而，通常情况下，数据的联合密度是未知的，因此函数的形式 $f(z,\beta )$ 和 $\beta$ 都是未知的。在实践中，因此我们必须使用对预测模型 $f(z,\beta )$ 正确形式的某种近似，并为 $\beta$ 选择某种估计量。

在 $f(z,\beta )$ 采取参数模型形式的许多情况下，基于损失的方法或插件方法将产生相同或非常相似的估计量。我们的意思是 $|{\hat{\beta }}_{T,\text{PI}}-{\hat{\beta }}_T|{\to }^{p}0$，其中 ${\hat{\beta }}_{T,\text{PI}}$ 是插件估计量。例如，在 MSE 损失下和条件期望的模型下，基于 OLS 的插件估计量就满足这一点。这直接源于 OLS 估计量最小化残差平方和 ${\sum }_t(y_{t+1}-f(z_t,\beta ){)}^2$，因此目标函数是相同的。

除平方误差损失外，使用来自最小二乘问题的估计的预测模型可能不具有此性质。因此，插件估计量最大的问题是，用于估计模型参数的损失函数可能与预测者的损失函数不一致。我们将在下一小节中考察这个问题。

第二个问题与数据异质性相关，这可能意味着 ${\hat{\beta }}_{T,\text{PI}}{\to }^p{\beta }^{\ast \ast }$ 而不是 ${\hat{\beta }}_{T,\text{PI}}{\to }^p{\beta }^{\ast }$。在实践中，这意味着预测模型"平均"上是好的，而不是在给定 $Z$ 当前值条件下预测下一期实现值时表现良好。

例 4.2.1（均值-方差投资者使用插件估计量）。考虑初始财富 $W_T=1$ 的投资者的投资组合选择。投资者选择投资组合权重 ${\omega }_T=f(Z_T)$，由此产生未来财富 $W_{T+1}={\omega }_T^{\prime }{y}_{T+1}$，其中 $y_{T+1}$ 是一组风险资产的总回报向量。给定投资者在时间 $T$ 的信息 $Z_T$，未来资产回报的分布为 $y_{T+1}\sim ({\mu }_T,{\Sigma }_T)$，所以 $E[W_{T+1}|Z_T]={\omega }_T^{\prime }{\mu }_T$，$\text{Var}(W_{T+1}|Z_T)={\omega }_T^{\prime }{\Sigma }_T{\omega }_T$。假设投资者具有

均值-方差偏好

$$U(W_{T+1})=E[W_{T+1}|Z_T]-\frac{a}{2}\text{Var}(W_{T+1}|Z_T),\text{\hspace{1em}(4.6)}$$

其中 $a>0$ 反映了投资者的风险厌恶程度。对 (4.6) 取条件期望，我们有

$$E[U(W_{T+1})|Z_T]={\omega }_T^{\prime }{\mu }_T-\frac{a}{2}{\omega }_T^{\prime }{\Sigma }_T{\omega }_T.$$

在约束 ${\omega }^{\prime }(z_T)\iota =1$ 下最大化期望效用，我们得到最优投资组合权重（见 Aït-Sahalia 和 Brandt (2001)），

$${\omega }_T=\frac{{\Sigma }_T^{-1}{\mu }_T}{a}+{\Sigma }_T^{-1}\iota \left(\frac{a-{\iota }^{\prime }{\Sigma }_T^{-1}{\mu }_T}{a{\iota }^{\prime }{\Sigma }_T^{-1}\iota }\right).\text{\hspace{1em}(4.7)}$$

一个两步插件方法可以首先获得 ${\mu }_T$ 和 ${\Sigma }_T$ 的估计，例如 ${\hat{\mu }}_T=T^{-1}{\sum }_{t=1}^T{y}_t$，以及 ${\hat{\Sigma }}_T=(T-1{)}^{-1}{\sum }_{t=1}^T(y_t-{\hat{\mu }}_T)(y_t-{\hat{\mu }}_T{)}^{\prime }$。在第二步中，可以将这些估计代入 (4.7) 以获得投资组合权重的插件估计：

$${\omega }_T=\frac{{\hat{\Sigma }}_T^{-1}{\hat{\mu }}_T}{a}+{\hat{\Sigma }}_T^{-1}\iota \left(\frac{a-{\iota }^{\prime }{\hat{\Sigma }}_T^{-1}{\hat{\mu }}_T^{\prime }}{a{\iota }^{\prime }{\hat{\Sigma }}_T^{-1}\iota }\right).\text{\hspace{1em}(4.8)}$$

注意 ${\omega }_T$ 是 ${\hat{\mu }}_T,{\hat{\Sigma }}_T$ 的高度非线性函数，因此估计参数的抽样分布很可能导致相关期望效用函数产生不良的抽样性质。