3.5 经验示例：具有参数不确定性的资产配置

3.5 经验示例：含参数不确定性的资产配置

为说明和比较经典预测方法与贝叶斯预测方法的使用，考虑 Barberis（2000）所研究的买入并持有投资者的资产配置问题。共有两种资产：短期国债（T-bills）和股票市场指数。短期国债支付一个恒定的连续复利无风险利率 $r_f$。假设股票的超额连续复利收益率 $y_t$ 独立同分布：

$$y_t=\mu +{\epsilon }_t,{\epsilon }_t\sim \text{iid N}(0,{\sigma }^2).\text{\hspace{1em}(3.31)}$$

考虑一个买入并持有投资者在时间 $T$ 针对 $h$ 期投资期限的资产配置决策。将投资者初始财富设为 $W_T=1$，并令 $\omega (z)$ 为对股票指数的配置比例，则投资者在时间 $T+h$ 的终端财富为：

$$W_{T+h}=(1-\omega (z))\exp (r_{f}h)+\omega (z)\exp \left(r_{f}h+\sum _{\tau =1}^h{y}_{T+\tau }\right).\text{\hspace{1em}(3.32)}$$

假设投资者对终端财富具有幂效用函数：

$$u(W_{T+h})=\frac{W_{T+h}^{1-A}}{1-A},\text{\hspace{1em}(3.33)}$$

其中 $A$ 为相对风险厌恶系数。该效用函数充当损失函数的角色，区别在于我们寻求的是期望效用最大化而非期望损失最小化。

投资者按以下方式选择 $\omega (z)$：

$${\omega }^{\ast }(z)=\arg \underset{\omega (z)\in [0,1)}{\max }E\left[\frac{W_{T+h}^{1-A}}{1-A}|Z_T\right],\text{\hspace{1em}(3.34)}$$

其中 $E[\cdot |Z_T]$ 是给定时间 $T$ 信息 $Z_T=\{y_1,\dots ,y_T\}$ 下的条件期望。为排除破产和期望效用无界的情况，股票权重被限制在 $[0,1)$ 区间内。

经典方法和贝叶斯方法在计算 (3.34) 中期望值的方式上有所不同。在经典代入法下，投资者以参数估计 $\hat{\theta }=(\hat{\mu },{\hat{\sigma }}^2)$ 为条件，求解：

$$\underset{\omega (z)\in [0,1)}{\max }\int \cdots \int u(W_{T+h}(\omega (z)))p_Y\left(\sum _{\tau =1}^h{y}_{T+\tau }|Z_T,\hat{\theta }\right)d{y}_{T+1}\dots d{y}_{T+h}.\text{\hspace{1em}(3.35)}$$

由 (3.31) 可得 $p_Y({\sum }_{\tau =1}^h{y}_{T+\tau }|\hat{\theta },Z_T)=\text{N}(\hat{\mu }h,{\hat{\sigma }}^{2}h)$。该解忽略了 $\theta$ 并非已知、而是通常带有相当大估计误差这一事实。

贝叶斯方法通过对后验分布 $p_Y(\theta |Z_T)$ 进行积分来处理参数不确定性，该后验分布概括了给定观测数据样本 $Z_T$ 下参数的不确定性。这导出一个仅以观测样本为条件（而非以任何估计量 $\hat{\theta }$ 为条件）的预测分布：

$${\hat{p}}_Y\left(\sum _{\tau =1}^h{y}_{T+\tau }|Z_T\right)=\int p_Y\left(\sum _{\tau =1}^h{y}_{T+\tau }|Z_T,\theta \right)p(\theta |Z_T)d\theta .\text{\hspace{1em}(3.36)}$$

因此贝叶斯投资者求解：

$$\begin{array}{rl}& \underset{\omega (z)\in [0,1)}{\max }\int \cdots \int u(W_{T+h}(\omega (z)))p_Y\left(\sum _{\tau =1}^h{y}_{T+\tau }|Z_T\right)d{y}_{T+1}\dots d{y}_{T+h}\\ & =\underset{\omega (z)\in [0,1)}{\max }\int \cdots \int u(W_{T+h}(\omega (z)))p_Y\left(\sum _{\tau =1}^h{y}_{T+\tau }|Z_T,\theta \right)p(\theta |Z_T)d{y}_{T+1}\dots d{y}_{T+h}d\theta .\end{array}\text{\hspace{1em}(3.37)}$$

该问题可通过以下方法求解：从 $\theta$ 的后验分布中抽样，并在给定该抽样的条件下从 $p_Y({\sum }_{\tau =1}^h{y}_{T+\tau }|Z_T,\theta )$ 中抽样，最后对这些抽样下的 $u(W_{T+h})$ 求平均。

Barberis（2000）假设了一个无信息先验 $p(\mu ,{\sigma }^2)\propto {\sigma }^{-2}$，并使用正态-逆伽马（IG）后验分布（参见例如 Zellner（1971））：

$${\sigma }^2|Z_T\sim \text{IG}\left(\frac{T-1}{2},\frac{1}{2}\sum _{t=1}^T(y_t-{\bar{y}}_T{)}^2\right),\text{\hspace{1em}(3.38)}$$

$$\mu |{\sigma }^2,Z_T\sim \text{N}\left({\bar{y}}_T,\frac{{\sigma }^2}{T}\right),\text{\hspace{1em}(3.39)}$$

其中 ${\bar{y}}_T=(1/T){\sum }_{t=1}^T{y}_t$ 为样本均值。为求解最优的 $\omega (z)$，Barberis 考虑了网格值 $\omega =0,0.01,0.02,\dots ,0.99$，并通过数值模拟计算 (3.35) 和 (3.37) 中的积分。其思路是抽取大量的（累积）收益率 $\{y_{T+1:T+h}^i{\}}_{i=1}^I$，然后计算：

$$\bar{U}(\omega (z))=\frac{1}{I}\sum _{i=1}^I\frac{{\left((1-\omega (z))\exp (r_{f}h)+\omega (z)\exp \left(r_{f}h+{\sum }_{\tau =1}^h{y}_{T+\tau }^i\right)\right)}^{1-A}}{1-A}.\text{\hspace{1em}(3.40)}$$

在经典情况下，假设数据服从正态分布，这一计算非常直接：只需从 $N(\bar{\mu }h,{\hat{\sigma }}^{2}h)$ 中抽取 $I$ 次；对于每次抽取，计算 ${\sum }_{\tau =1}^h{y}_{T+\tau }$，对给定 $\omega (z)$ 的值评估效用函数，并在 $I$ 次抽取中取平均值。使 (3.40) 取得最大值的 $\omega (z)$ 即为对股票的最优配置 ${\omega }^{\ast }(z)$。

图 3.2：经典方法和贝叶斯方法下的最优股票配置。

要在贝叶斯情况下从长期收益的预测分布 $p_Y({\sum }_{\tau =1}^h{y}_{T+\tau }|Z_T)$ 中抽样，首先从参数的后验分布 $p(\mu ,{\sigma }^2|Z_T)$ 中生成一个样本 $(\mu ,{\sigma }^2)$。然后从给定过去数据和参数的长期收益条件分布 $p_Y({\sum }_{\tau =1}^h{y}_{T+\tau }|\mu ,{\sigma }^2,Z_T)$ 中抽样。最后，将这些抽取值代入效用函数，并在 $I$ 次抽取中取平均值，以得到给定 $\omega (z)$ 下的平均效用估计值。

从后验收益分布中抽样非常容易。首先，从边际分布 $p({\sigma }^2|Z_T)$ 中抽样，根据 (3.38) 式，该分布为逆伽马分布。在给定 ${\sigma }^2$ 的值后，接下来从条件分布 $p(\mu |{\sigma }^2,Z_T)$ 中抽样，根据 (3.39) 式，该分布为正态分布。最后，从给定参数值的收益条件分布 $p_Y({\sum }_{\tau =1}^h{y}_{T+\tau }|\mu ,{\sigma }^2,Z_T)$ 中抽样。由 (3.31) 式可知，在给定 $(\mu ,{\sigma }^2)$ 的条件下，累计收益分布为 $N(\mu h,{\sigma }^{2}h)$。

比较 (3.35) 和 (3.37) 的解可以衡量参数不确定性对投资者最优资产配置的重要性。图 3.2 展示了在不同投资期 $h$（以季度为单位，列于横轴）下，经典方法和贝叶斯方法在股票配置百分比（列于纵轴）上的差异。该分析使用了 1994 年第一季度至 2013 年第四季度这 20 年间美国股票的市值加权组合季度收益数据和三个月国库券利率。计算假设相对风险厌恶系数为 $A=5$。水平线表示经典投资者的股票配置。

该线是常数，因此在独立同分布收益的假设下，经典投资者的股票配置与投资期无关。相比之下，贝叶斯方法下的股票配置从 1 个月投资期时的 70% 急剧下降至 40 个季度（10 年）投资期时的约 55%。⁹

这些资产配置上的差异直接反映了经典方法和贝叶斯方法在处理参数不确定性方面的差异。参数不确定性引入了另一种长期持续的风险来源；真实参数可能比样本所显示的更差，在这种情况下，由于累计收益分布的方差以快于线性的速度随投资期 $h$ 增加，长期收益将受到特别不利的影响。这导致风险厌恶的买入并持有投资者减少其股票持仓，并即使在独立同分布收益的假设下也引入了投资期效应。